Der lineare Operator U(t,t0), der Quantenzustände zur Anfangszeit t0 in Zustände zur späteren Zeit t abbildet, so dass |ψ(t)〉 = U(t,t0)|ψ(t0)〉 gilt; für geschlossene Systeme, die von H erzeugt werden, ist U = T exp[-(i/ħ)∫_{t0}^t H(t') dt'], wobei T Zeitordnung bezeichnet.

Prinzip

U erfüllt die Kompositionsregel U(t2,t0)=U(t2,t1)U(t1,t0), ist für geschlossene Systeme unitär und wird infinitesimal vom Hamiltonoperator erzeugt durch iħ ∂/∂t U(t,t0) = H(t) U(t,t0) mit U(t0,t0)=I.

Demonstration

Für zeitunabhängigen Hamiltonoperator H gilt U(t,t0)=exp[-iH(t-t0)/ħ]; angewandt auf einen Energieeigenzustand |E〉 ergibt sich U|E〉=e^{-iE(t-t0)/ħ}|E〉, was eine einfache Phasenevolution liefert und Übergangsamplituden berechenbar macht.

Fehlanwendung

Die einfache Exponentialdarstellung U = exp(-i∫H dt/ħ) ohne Zeitordnung zu verwenden, wenn H(t) zu verschiedenen Zeiten nicht kommutiert, führt zu falschen Ergebnissen; ebenso widerspricht die Anwendung eines nichtunitären U auf ein geschlossenes System der Wahrscheinlichkeitskonservierung.

Konsequenz

Mit dem korrekten U lassen sich Zustandsentwicklungen, Übergangsamplituden und Erwartungswerte zu beliebigen Zeiten berechnen; die Kompositionsregel ermöglicht die Zerlegung in Zwischenzeiten und die Nutzung von Wechselwirkungsbildern.

Umkehrung

Das Ersetzen von U durch eine komplett positive, spurerhaltende Abbildung oder einen dissipativen Superoperator behandelt Dichtematrizen statt unitärer Entwicklung reiner Zustände; dies ist die angemessene Umkehr für offene Systeme und verändert Invertierbarkeit und Gruppenstruktur.

Abgrenzung

Die Definition setzt eine Abbildung auf dem Hilbertraum des Systems voraus; bei zeitabhängigem H sind Zeitordnung und Definitionsbereich relevant. Für offene Systeme ist U nicht notwendigerweise unitär und man muss Superoperatoren auf Dichtematrizen verwenden.

Semantische Spannung

Der Zeitentwicklungsoperator als unitäre Abbildung steht im konzeptuellen Spannungsverhältnis zu Propagatoren als Kernen (Positionsraumamplituden) und zu klassischen Flussdarstellungen; die Unterscheidung von Operator-, Kern- und Pfadintegralrepräsentationen ist notwendig.

Synthese

Der Zeitentwicklungsoperator ist die unitäre (für geschlossene Systeme) lineare Abbildung, vom Hamiltonoperator erzeugt, die sich in der Zeit komponiert, die Dynamik kodiert und Zustände zu späteren Zeiten liefert.