El operador lineal U(t,t0) que transporta estados cuánticos desde un tiempo inicial t0 a un tiempo posterior t, de modo que |ψ(t)〉 = U(t,t0)|ψ(t0)〉; para sistemas cerrados generados por H, U = T exp[-(i/ħ)∫_{t0}^t H(t') dt'], donde T indica orden temporal.

Principio

U cumple la propiedad de composición U(t2,t0)=U(t2,t1)U(t1,t0), es unitario para sistemas cerrados y es generado infinitesimalmente por el Hamiltoniano mediante iħ ∂/∂t U(t,t0) = H(t) U(t,t0) con condición inicial U(t0,t0)=I.

Demostración

Con H independiente del tiempo, U(t,t0)=exp[-iH(t-t0)/ħ]; aplicado a un autestado de energía |E〉 se obtiene U|E〉=e^{-iE(t-t0)/ħ}|E〉, produciendo una evolución por fase simple y permitiendo calcular amplitudes de transición entre tiempos.

Aplicación incorrecta

Usar la exponencial simple U = exp(-i∫H dt/ħ) sin orden temporal cuando H(t) no conmuta en tiempos distintos lleva a resultados incorrectos; del mismo modo, aplicar una U no unitaria a un sistema cerrado contradice la conservación de probabilidad.

Consecuencia

Con el U correcto se pueden calcular evoluciones de estado exactas, amplitudes de transición y valores esperados en tiempos arbitrarios, y usar la composición para dividir problemas en pasos intermedios o pasar al cuadro de interacción.

Inversión

Sustituir U por un mapa completamente positivo y conservador de traza o por un superoperador disipativo trata matrices densidad en lugar de la evolución unitaria de estados puros; ello es la inversión apropiada para sistemas abiertos y altera invertibilidad y estructura de grupo.

Límite

La definición presupone una aplicación sobre el espacio de Hilbert del sistema; para H dependiente del tiempo hay que considerar orden temporal y cuestiones de dominio. Para sistemas abiertos, U puede no ser unitario y es necesario trabajar con superoperadores sobre matrices densidad.

Tensión semántica

El operador de evolución temporal unitario se contrapone conceptualmente a los propagadores vistos como núcleos (amplitudes en espacio de posición) y al flujo temporal clásico; es preciso distinguir entre operador, núcleo y representaciones por integral de caminos.

Síntesis

El operador de evolución temporal es el mapa lineal unitario (para sistemas cerrados) generado por el Hamiltoniano, que se compone en el tiempo, codifica la dinámica y produce los vectores de estado posteriores a partir de datos iniciales.