Opérateur linéaire U(t,t0) qui transforme les états quantiques à un instant initial t0 en états à un instant ultérieur t, de sorte que |ψ(t)〉 = U(t,t0)|ψ(t0)〉 ; pour un système fermé engendré par H, U = T exp[-(i/ħ)∫_{t0}^t H(t') dt'], T désignant l'ordre temporel.

Principe

U satisfait la propriété de composition U(t2,t0)=U(t2,t1)U(t1,t0), est unitaire pour les systèmes fermés, et est engendré infinitésimalement par l'Hamiltonien via iħ ∂/∂t U(t,t0) = H(t) U(t,t0) avec cond. initiale U(t0,t0)=I.

Démonstration

Pour H indépendant du temps, U(t,t0)=exp[-iH(t-t0)/ħ] ; appliqué à un état propre d'énergie |E〉, U|E〉=e^{-iE(t-t0)/ħ}|E〉, donnant une évolution par phase simple et permettant de calculer des amplitudes de transition entre instants distincts.

Mauvaise application

Employer l'exponentielle simple U = exp(-i∫H dt/ħ) sans ordre temporel quand H(t) ne commute pas à différents instants conduit à des résultats erronés ; de même, appliquer une formule non unitaire à un système fermé viole la conservation de la probabilité.

Conséquence

Avec le bon U, on peut calculer l'évolution d'état exacte, les amplitudes de transition et les valeurs moyennes à des temps arbitraires, et utiliser la propriété de composition pour segmenter des problèmes ou passer au cadre interactionnel.

Inversion

Remplacer U par une application complètement positive et préservant la trace ou par un superopérateur dissipatif traite les matrices densité plutôt que l'évolution unitaire des états purs ; c'est l'inverse approprié pour systèmes ouverts et modifie l'inversibilité et la composition de groupe.

Limite

La définition présuppose une application sur l'espace de Hilbert du système ; pour H dépendant du temps, l'ordre temporel et les questions de domaine sont importantes. Pour systèmes ouverts, U peut ne pas être unitaire et il faut employer des superopérateurs sur matrices densité.

Tension sémantique

L'opérateur d'évolution temporelle unitaire est en tension conceptuelle avec les propagateurs vus comme noyaux (amplitudes en espace de position) et avec les flux d'évolution classique ; il faut distinguer opérateur, noyau et représentations par intégrales de trajectoires.

Synthèse

L'opérateur d'évolution temporelle est l'application linéaire unitaire (pour systèmes fermés) engendrée par l'Hamiltonien, se composant dans le temps, qui encode la loi dynamique et fournit les vecteurs d'état ultérieurs à partir de données initiales.