Ein Phasenfaktor, den ein Quantenzustand annimmt und der nur von der Geometrie seines Pfades im projektiven Hilbertraum (oder Parameterraum) abhängt und nicht von der lokalen Geschwindigkeit des Pfaddurchlaufs; hierzu gehören die Berry-Phase für adiabatische zyklische Entwicklungen sowie allgemeinere Konstrukte wie die Aharonov–Anandan- und Pancharatnam-Phasen für nichtadiabatische oder offene Pfade.

Prinzip

Geometrische Phasen entstehen als Holonomien, die mit Paralleltransport in einem Faserbündel verbunden sind, dessen Basis der Parameter- oder Strahlenraum ist und dessen Fasern Phasenauswahlen sind; sie hängen von der Äquivalenzklasse des Pfades unter glatten Deformationen (die Endpunkte bewahren) bzw. von der Homotopieklasse von Schleifen und von der gewählten Paralleltransportbedingung ab.

Demonstration

Die Aharonov–Anandan-Phase: Ein Quantenzustand in einer beliebigen zyklischen Entwicklung (nicht notwendigerweise adiabatisch) erhält eine Phase gleich der von seiner Projektion auf den projektiven Hilbertraum eingeschlossenen Fläche, gemessen mit der geeigneten Fubini–Study-Metrik; Pancharatnams Phase tritt bei Folgen von Polarisationszuständen in der Optik auf und ist interferometrisch messbar.

Fehlanwendung

Jede beobachtete Phase als „geometrisch“ zu bezeichnen, ohne die dynamische Komponente abzuziehen oder die Paralleltransportregel anzugeben; anzunehmen, geometrische Phasen seien immer topologisch (wegunabhängig), obwohl sie in vielen Fällen wegsensitiv und metrikabhängig sind.

Konsequenz

Bietet einen vereinheitlichenden Rahmen für Phasen in unterschiedlichen Kontexten, erlaubt das Entwerfen robuster Steuerungsprotokolle, die Geometrie statt Energie nutzen, und verallgemeinert sich zu nichtabelschen Matrizen für entartete Untersysteme, was holonomische Quantenberechnung ermöglicht.

Umkehrung

Ist ein Pfad in einer Region mit trivialer Verbindung zusammenziehbar oder wird eine triviale Paralleltransportbedingung gewählt, reduziert sich die geometrische Phase auf Null; dieselbe Entwicklung mit anderer Referenz oder Gaugewahl ändert lokale Ausdrücke, bewahrt aber messbare Unterschiede.

Abgrenzung

Gilt für geschlossene und offene Pfade mit geeigneten Referenzwahlen; erfordert einen Begriff von Paralleltransport oder Phasenvergleich (Pancharatnam-Verbindung) und kann durch Umweltdekoherenz modifiziert werden; rein topologische Phasen sind eine eingeschränkte Unterklasse, wenn Krümmung zu quantisierten Flussanteilen konzentriert ist.

Semantische Spannung

Abgrenzung geometrisch (pfadabhängige, metrikrelevante Holonomie) vs. topologisch (nach Homotopieklassen abhängige, robuste ganzzahlige Invarianten); auch Spannung zwischen adiabatischen und nichtadiabatischen Definitionen geometrischer Phase.

Synthese

Eine Geometrische Phase ist die Phase, die ein Quantenschein unter Paralleltransport entlang eines Pfades in Strahlen- oder Parameterraum erwirbt: eine durch den Pfad und die gewählte Transportregel bestimmte Holonomie, die adiabatische und nichtadiabatische Erscheinungsformen vereinigt und auf nichtabelsche Fälle erweiterbar ist.