Facteur de phase acquis par un état quantique qui dépend seulement de la géométrie de son chemin dans l’espace projectif de Hilbert (ou dans l’espace des paramètres) et non de la vitesse locale de parcours ; cela inclut la phase de Berry pour une évolution adiabatique cyclique et des constructions plus générales comme les phases d’Aharonov–Anandan et de Pancharatnam pour des évolutions non adiabatiques ou des chemins ouverts.

Principe

Les phases géométriques apparaissent comme des holonomies associées au transport parallèle dans un fibré dont la base est l’espace des paramètres ou des rayons et dont les fibres sont les choix de phase ; elles dépendent de la classe d’équivalence du chemin par déformations lisses préservant les extrémités (ou des boucles à homotopie près) et de la condition de transport parallèle choisie.

Démonstration

La phase d’Aharonov–Anandan : un état quantique subissant une évolution cyclique quelconque (pas nécessairement adiabatique) acquiert une phase égale à l’aire délimitée par sa projection sur l’espace projectif, mesurée avec une métrique de Fubini–Study appropriée ; la phase de Pancharatnam apparaît dans des séquences d’états de polarisation en optique et se mesure par interférence.

Mauvaise application

Qualifier d’« géométrique » toute phase observée sans soustraire la contribution dynamique ou sans préciser la règle de transport parallèle ; supposer que les phases géométriques sont toujours topologiques (indépendantes du chemin) alors qu’elles sont souvent dépendantes du chemin et sensibles à la métrique.

Conséquence

Fournit un cadre unifiant pour les phases apparaissant dans des contextes variés, permet d’ingénier des protocoles de contrôle robustes exploitant la géométrie plutôt que l’énergie, et se généralise à des matrices non abéliennes pour des sous-espaces dégénérés, rendant possible le calcul quantique holonomique.

Inversion

Si un chemin est contractile dans une région où la connexion est triviale ou si la condition de transport parallèle choisie est trivialisée, la phase géométrique se réduit à zéro ; traiter la même évolution avec une référence ou une jauge différente peut modifier les expressions locales tout en préservant les différences mesurables.

Limite

S’applique aux chemins fermés et ouverts avec des choix de référence appropriés ; nécessite une notion de transport parallèle ou de comparaison de phase (connexion de Pancharatnam) et peut être modifiée par la décohérence induite par l’environnement ; les phases purement topologiques sont une sous-classe restreinte lorsque la courbure se concentre en flux quantifiés.

Tension sémantique

Distinguer phase géométrique (holonomie dépendante du chemin et de la métrique) et phase topologique (dépendant de la classe d’homotopie et donnant des invariants entiers robustes) ; tension aussi entre définitions adiabatique et non adiabatique de la phase géométrique.

Synthèse

Une Phase Géométrique est la phase acquise par un rayon quantique sous transport parallèle le long d’un chemin dans l’espace des rayons ou des paramètres : une holonomie déterminée par la géométrie du chemin et la règle de transport choisie, unifiant manifestations adiabatiques et non adiabatiques et étendant au cas non abélien.