Factor de fase que adquiere un estado cuántico y que depende únicamente de la geometría de su camino en el espacio proyectivo de Hilbert (o en el espacio de parámetros) y no de la rapidez local con que se recorre el camino; incluye la fase de Berry para evolución adiabática cíclica y construcciones más generales como las fases de Aharonov–Anandan y Pancharatnam para evoluciones no adiabáticas o trayectorias abiertas.

Principio

Las fases geométricas surgen como holonomías asociadas al transporte paralelo en un fibrado cuya base es el espacio de parámetros o de rayos y cuyas fibras son las elecciones de fase; dependen de la clase de equivalencia del camino bajo deformaciones suaves que preservan los extremos (o de la homotopía de lazos) y de la condición de transporte paralelo elegida.

Demostración

La fase de Aharonov–Anandan: un estado cuántico que sufre cualquier evolución cíclica (no necesariamente adiabática) adquiere una fase igual al área encerrada por su proyección en el espacio proyectivo, medida con una métrica de Fubini–Study adecuada; la fase de Pancharatnam aparece en secuencias de estados de polarización en óptica y se mide por interferencia.

Aplicación incorrecta

Llamar «geométrica» a cualquier fase observada sin restar la contribución dinámica o sin especificar la regla de transporte paralelo; suponer que las fases geométricas son siempre topológicas (independientes del camino) cuando en muchos casos son dependientes del camino y sensibles a la métrica.

Consecuencia

Proporciona un marco unificador para fases en contextos diversos, permite diseñar protocolos de control robustos que exploten la geometría en lugar de la energía, y se extiende a matrices no abelianas para subespacios degenerados, posibilitando la computación cuántica holonómica.

Inversión

Si un camino es contractible en una región con conexión trivial o si se trivializa la condición de transporte paralelo, la fase geométrica se reduce a cero; tratar la misma evolución con una referencia o gauge distinto puede cambiar expresiones locales mientras preserva diferencias medibles.

Límite

Se aplica a caminos cerrados y abiertos con elecciones de referencia adecuadas; requiere una noción de transporte paralelo o comparación de fase (conexión de Pancharatnam) y puede modificarse por la decoherencia inducida por el entorno; las fases puramente topológicas son una subclase restringida cuando la curvatura se concentra en flujos cuantizados.

Tensión semántica

Distinguir fase geométrica (holonomía dependiente del camino y que involucra la métrica) de fase topológica (dependiente de la clase de homotopía y que da invariantes enteros robustos); también hay tensión entre definiciones adiabáticas y no adiabáticas de fase geométrica.

Síntesis

Una Fase Geométrica es la fase que adquiere un rayo cuántico bajo transporte paralelo a lo largo de un camino en el espacio de rayos o de parámetros: una holonomía determinada por la geometría del camino y la regla de transporte elegida, que unifica manifestaciones adiabáticas y no adiabáticas y se extiende a casos no abelianos.