Ein Quantensystem, bestehend aus einem Teilchen, das keinen externen Potentialen oder Kräften ausgesetzt ist, beschrieben durch die Hamiltonfunktion H = p^2/(2m) in nichtrelativistischer Quantenmechanik. Energieeigenzustände sind ebene Wellen und Impuls ist erhalten.

Prinzip

Translationssymmetrie impliziert Impulserhaltung und ein kontinuierliches Energiespektrum; physikalische Zustände sind Superpositionen (Wellenpakete) ebener Wellen, die sich zeitlich gemäß der Dispersionsrelation E(p)=p^2/(2m) ausbreiten und dispersieren.

Demonstration

Gaußsches Wellenpaket: Eine anfangs lokalisierte Gauß-Funktion ψ(x,0) breitet sich aus, die Breite σ(t) = σ0 sqrt(1+(ħ t/(2m σ0^2))^2), und der Schwerpunkt bewegt sich ballistisch x0 + (p0/m) t, was freie Dispersion und Impulserhaltung illustriert.

Fehlanwendung

Ebene Wellen als physikalisch lokalisierte Zustände zu behandeln führt zu Fehldeutungen; ebene Wellen sind nicht normalisierbar und können eine räumlich lokalisierte Teilchenbeschreibung nur durch Superposition liefern.

Konsequenz

Für ein wirklich freies Teilchen gibt es kein gebundenes Spektrum; das Teilchen zeigt ballistische Bewegung und Wellenpaket-Dispersion; in Streuproblemen dienen freie Teilchenlösungen als asymptotische Zustände.

Umkehrung

Das Umgekehrte ist ein gebundenes Teilchen, eingeschränkt durch ein Potential (z. B. in einem Kasten), mit diskreten gebundenen Zuständen und ohne freie Dispersion; das Hinzufügen von Wechselwirkungen oder Potentialen bricht Translationssymmetrie und ändert die Erhaltungsgrößen.

Abgrenzung

Das Freiteilchen-Modell setzt den nichtrelativistischen Bereich, Einzelteilchenbeschreibung, Abwesenheit externer Felder und Wechselwirkungen voraus und vernachlässigt spinabhängige Kopplungen, sofern nicht explizit berücksichtigt; relativistische oder feldtheoretische Kontexte benötigen andere Hamiltonoperatoren.

Semantische Spannung

Freies Teilchen versus freies Feld oder Streuzustand: 'freies Teilchen' bezeichnet hier die Einzelteilchen-Quantenmechanik ohne Potential und unterscheidet sich von Quantenfeld-Exzitationen und von asymptotischen Streuzuständen, die eingehende/ausgehende Randbedingungen kodieren.

Synthese

Ein freies Teilchen ist das minimale quantenmechanische Modell für ungezwungene Bewegung: Ebenenwellen-Eigenzustände und Impulserhaltung bestimmen die Dynamik, während physikalische Lokalisation durch Wellenpakete entsteht, die gemäß der quadratischen Dispersionsrelation propagieren und dispergieren.