Un système quantique constitué d'une particule non soumise à des potentiels ou forces externes, décrit par l'hamiltonien H = p^2/(2m) en mécanique quantique non relativiste. Les états propres d'énergie sont des ondes planes et la quantité de mouvement est conservée.

Principe

La symétrie de translation implique la conservation de la quantité de mouvement et un spectre d'énergie continu ; les états physiques sont des superpositions (paquets d'ondes) d'ondes planes qui se dispersent dans le temps selon la relation de dispersion E(p)=p^2/(2m).

Démonstration

Paquet d'ondes gaussien : une fonction d'onde localisée initiale ψ(x,0) s'élargit avec le temps t, largeur σ(t) = σ0 sqrt(1+(ħ t/(2m σ0^2))^2), et son centre se déplace de façon balistique x0 + (p0/m) t, illustrant la dispersion libre et la conservation de l'impulsion.

Mauvaise application

Considérer les ondes planes propres d'énergie comme des états localisés physiques conduit à une mauvaise interprétation ; les ondes planes ne sont pas normalisables et ne peuvent représenter une particule localisée qu'au travers d'une superposition.

Conséquence

Pour une particule véritablement libre, il n'y a pas de spectre lié et la particule montre un mouvement balistique et l'élargissement des paquets d'ondes ; les problèmes de diffusion utilisent les solutions de particule libre comme états asymptotiques.

Inversion

La situation inverse est une particule liée contrainte par un potentiel (par ex. dans un puits) avec états liés discrets et sans dispersion libre ; l'ajout d'interactions ou de potentiels brise la symétrie translationnelle et modifie les quantités conservées.

Limite

Le modèle de particule libre suppose le régime non relativiste, une description mono-particule, l'absence de champs externes et d'interactions, et néglige les couplages dépendant du spin sauf inclusion explicite ; les contextes relativistes ou champ quantique exigent d'autres hamiltoniens.

Tension sémantique

Particule libre versus champ libre ou état de diffusion : 'particule libre' désigne ici la dynamique quantique mono-particule sans potentiel, distincte des excitations de champ quantique et des états asymptotiques de diffusion qui portent des conditions aux limites entrantes/sortantes.

Synthèse

La particule libre est le modèle quantique minimal pour un mouvement non contraint : les états d'ondes planes et la conservation de l'impulsion définissent la dynamique, tandis que les comportements localisés physiquement se manifestent via des paquets d'ondes qui se propagent et se dispersent selon la relation de dispersion quadratique.