Ein gebundener Zustand ist ein quantenmechanischer Eigenzustand, dessen Wellenfunktion normierbar und in der Nähe eines Potentialbereichs lokalisiert ist, und der mit einem diskreten Eigenenergie‑Wert getrennt vom Kontinuum assoziiert ist; das Teilchen bleibt gebunden mit einer endlichen Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Nähe des bindenden Potentials.

Prinzip

Gebundene Zustände entstehen als Lösungen der Schrödingergleichung, die Quadratintegrabilität und Randbedingungen erfüllen, was zur Energiequantisierung führt; mathematisch entsprechen sie Polen des Resolventenoperators oder dem diskreten Spektrum des Hamiltonoperators.

Demonstration

Beispiele sind Eigenzustände im unendlichen Potentialtopf mit diskreten Energien En ∝ n^2, die diskreten negativen Energieniveaus des Wasserstoffatoms oder Schwingungsmoden eines molekularen Potentialtopfs, die das Teilchen in der Nähe des Gleichgewichts lokalisieren.

Fehlanwendung

Langlebige Resonanzen oder metastabile Zustände ohne Prüfung auf Normierbarkeit und spektrale Diskretion fälschlich als gebunden zu bezeichnen, oder Annahmen gebundener Zustände (diskrete Orthogonalität, kein Strom nach ∞) auf Streu‑ oder offene Systeme zu übertragen.

Konsequenz

Wahre gebundene Zustände liefern quantisierte Energiespektren, stationäre Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Auswahlregeln für Übergänge; sie bilden die Grundlage atomarer und molekularer Spektroskopie und bestimmen Stabilität und Bindungsenergien zusammengesetzter Systeme.

Umkehrung

Das Gegenstück ist ein unbeladener bzw. Streuzustand: nicht normierbare Kontinuumseigenzustände, die sich bis ins Unendliche erstrecken, Flux transportieren und das kontinuierliche Spektrum bilden statt lokalisierter diskreter Energieniveaus.

Abgrenzung

Die Definition gilt im Rahmen linearer Einteilchen‑Hamiltonoperatoren (oder separabler effektiver Einteilchenkanäle); sie schließt Kontinuumsresonanzen, virtuelle Zustände, korrelierte Vielteilchen‑Bindungen, die andere Kriterien verlangen, und relativistische negative Energiekontinua aus, sofern sie nicht adäquat behandelt werden.

Semantische Spannung

Es besteht Spannung zwischen der Bezeichnung 'gebunden', wenn ein Zustand experimentell auf Messzeitskalen lokalisiert erscheint (metastabil), und der strengen mathematischen Auffassung als quadratintegrabler diskreter Eigenzustand; in der Praxis wird diese Grenze oft verwischt.

Synthese

Ein gebundener Zustand ist ein quadratintegrabler Eigenzustand des Hamiltonoperators, der durch ein Potential lokalisiert ist und mit einer diskreten Energie assoziiert wird; er erzeugt stabile, quantisierte Observablen im Gegensatz zu Kontinuums‑Streuzuständen, wobei zwischen echter Bindung und Metastabilität zu unterscheiden ist.