Eine semiclassische Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen (insbesondere der eindimensionalen Schrödingergleichung), indem man Wellenfunktionen in exponentieller Form mit einer in Potenzen von ħ expandierten Wirkung sucht und so führendes klassisches Phasenverhalten und höhere Korrekturen erhält.

Prinzip

Annahme von Lösungen ψ(x)=exp[(i/ħ)S(x)] und Entwicklung S(x)=S0(x)+ħ S1(x)+…; der führende Term erfüllt die Hamilton–Jacobi-Gleichung und ergibt die lokale Wellenzahl k(x)=√{2m(E−V(x))}/ħ, wenn das Potential sich auf einer Länge, die größer als die Wellenlänge ist, langsam ändert.

Demonstration

Für ein Teilchen in einem langsam veränderlichen 1D-Potential liefert WKB ψ(x)≈C/√{k(x)} exp(± i ∫^x k(x') dx') in klassisch erlaubten Bereichen und ψ(x)≈C'/√{κ(x)} exp(± ∫^x κ(x') dx') in verbotenen Bereichen, was Tunnelexponentialfaktoren und Bohr–Sommerfeld-Quantisierungsbedingungen mit Verbindungsformeln an Wendepunkten erzeugt.

Fehlanwendung

Die naive WKB-Anwendung durch Wendepunkte oder wenn das Potential auf der Skala der de-Broglie-Wellenlänge variiert, oder die Anwendung wenn ħ nicht effektiv klein gegenüber Aktionsunterschieden ist, führt zu numerisch schlechten oder qualitativ falschen Ergebnissen.

Konsequenz

Bietet klare semiclassische Intuition: approximative Eigenwerte durch Quantisierungsregeln, exponentielle Tunneleffekte und Phasenverschiebungen in der Streuung mit expliziten Formeln für führende Amplitude und Phasenkorrekturen.

Umkehrung

Die Umkehr ist die exakte Quantenbehandlung oder numerische Lösung, die Diskrepanzen in der Nähe von Wendepunkten auflöst, wo uniforme Approximationen oder Verbindungsformeln die naive WKB ersetzen müssen.

Abgrenzung

Gilt, wenn ħ klein gegenüber der Aktionsskala ist, das Potential glatt auf der Wellenlängenskala ist und Wendepunkte durch Verbindungsformeln behandelt werden; nicht anwendbar bei scharfen Potentialen, entarteten Wendepunkten oder in mehrdimensionalen stark chaotischen Systemen ohne zusätzliche semiclassische Methoden.

Semantische Spannung

Wird oft mit der semiclassical approximation gleichgesetzt; WKB ist jedoch eine spezifische eindimensionale semiclassische Entwicklung; in höheren Dimensionen oder bei Pfadintegralen sind allgemeinere semiclassische Werkzeuge erforderlich, etwa stationäre Phase oder Maslov-Indizes.

Synthese

WKB ist eine kontrollierte semiclassische Entwicklung, die Wellenfunktionen als Exponentialfunktionen einer Wirkungsreihe darstellt, die die Hamilton–Jacobi-Klassik mit quantenmechanischen Amplituden verbindet und Quantisierung sowie Tunneleffekte vorhersagt, wenn die Anwendbarkeitsbedingungen erfüllt sind.