Méthode semi-classique pour résoudre des équations différentielles linéaires (notamment l'équation de Schrödinger unidimensionnelle) en cherchant des solutions d'onde sous forme exponentielle avec une action développée en puissances de la constante de Planck, produisant un comportement de phase classique au premier ordre et des corrections d'ordre supérieur.

Principe

Supposer des solutions ψ(x)=exp[(i/ħ)S(x)] et développer S(x)=S0(x)+ħ S1(x)+… ; le terme dominant satisfait l'équation de Hamilton–Jacobi et donne le nombre d'onde local k(x)=√{2m(E−V(x))}/ħ quand le potentiel varie lentement à l'échelle de la longueur d'onde.

Démonstration

Pour une particule dans un potentiel 1D lentement variant, WKB donne ψ(x)≈C/√{k(x)} exp(± i ∫^x k(x') dx') dans les régions classiquement permises, et ψ(x)≈C'/√{κ(x)} exp(± ∫^x κ(x') dx') dans les régions interdites, produisant des facteurs exponentiels de tunnel et des conditions de quantification de Bohr–Sommerfeld avec formules de raccordement aux points de retournement.

Mauvaise application

Utiliser la WKB naïve à travers les points de retournement ou quand le potentiel varie à l'échelle de la longueur d'onde de de Broglie, ou l'employer quand ħ n'est pas effectivement petit par rapport aux différences d'action conduit à des résultats numériquement mauvais ou qualitativement erronés.

Conséquence

Fournit une intuition semi-classique claire : valeurs propres approximatives via règles de quantification, amplitudes de tunnel exponentielles et décalages de phase en diffusion, avec formules explicites pour l'amplitude et la phase au premier ordre.

Inversion

La contrepartie est le traitement quantique exact ou la résolution numérique qui corrige les divergences près des points de retournement, où des approximations uniformes ou des formules de raccordement doivent remplacer les développements WKB naïfs.

Limite

Valable lorsque ħ est petit par rapport à l'échelle d'action, le potentiel est lisse à l'échelle de la longueur d'onde et les points de retournement sont traités par formules de raccordement ; invalide près de potentiels brusques, points de retournement dégénérés, ou en systèmes multidimensionnels fortement chaotiques sans outils semiclassiques supplémentaires.

Tension sémantique

Souvent assimilée à l'approximation semi-classique, la WKB est un développement semi-classique spécifique en une dimension ; en dimensions supérieures ou pour les intégrales de chemin, il faut employer des outils semiclassiques plus généraux comme la phase stationnaire ou les indices de Maslov.

Synthèse

La WKB est un développement semiclassique contrôlé donnant des fonctions d'onde comme exponentielles d'une série d'action ; elle relie la description classique de Hamilton–Jacobi aux amplitudes quantiques et prédit quantification et tunellement lorsque ses conditions d'applicabilité sont satisfaites.