Método semiclasico para resolver ecuaciones diferenciales lineales (notablemente la ecuación de Schrödinger unidimensional) buscando soluciones de la función de onda en forma exponencial con una acción expandida en potencias de ħ, produciendo comportamiento de fase clásico en el orden principal y correcciones de órdenes superiores.

Principio

Suponer soluciones ψ(x)=exp[(i/ħ)S(x)] y expandir S(x)=S0(x)+ħ S1(x)+…; el término líder satisface la ecuación de Hamilton–Jacobi y da el número de onda local k(x)=√{2m(E−V(x))}/ħ cuando el potencial varía lentamente a escala de la longitud de onda.

Demostración

Para una partícula en un potencial 1D de variación lenta, WKB da ψ(x)≈C/√{k(x)} exp(± i ∫^x k(x') dx') en regiones clásicamente permitidas y ψ(x)≈C'/√{κ(x)} exp(± ∫^x κ(x') dx') en regiones prohibidas, produciendo factores exponenciales de tunelamiento y condiciones de cuantización de Bohr–Sommerfeld con fórmulas de conexión en puntos de giro.

Aplicación incorrecta

Usar WKB de forma ingenua a través de puntos de giro o cuando el potencial varía a la escala de la longitud de onda de de Broglie, o aplicarla donde ħ no es efectivamente pequeño frente a diferencias de acción, da resultados numéricamente pobres o cualitativamente erróneos.

Consecuencia

Ofrece intuición semiclasica: valores propios aproximados mediante reglas de cuantización, amplitudes exponenciales de tunelamiento y desplazamientos de fase en dispersión, con fórmulas explícitas para la amplitud y la fase de primer orden.

Inversión

La inversión es el tratamiento cuántico exacto o la solución numérica que corrige discrepancias cerca de los puntos de giro, donde aproximaciones uniformes o fórmulas de conexión deben reemplazar las expansiones WKB ingenuas.

Límite

Válida cuando ħ es pequeño frente a la escala de la acción, el potencial es suave en la escala de la longitud de onda y los puntos de giro se tratan con fórmulas de conexión; inválida cerca de potenciales abruptos, puntos de giro degenerados o en sistemas multidimensionales fuertemente caóticos sin maquinaria semiclasica adicional.

Tensión semántica

A menudo se presenta como equivalente a la aproximación semiclasica; WKB es una expansión semiclasica específica en una dimensión; en dimensiones superiores o para integrales de camino se usan herramientas semiclasicas más generales como fase estacionaria o índices de Maslov.

Síntesis

WKB es una expansión semiclasica controlada que da funciones de onda como exponenciales de una serie de acción; conecta la descripción clásica de Hamilton–Jacobi con las amplitudes cuánticas y predice cuantización y tunelamiento cuando se cumplen sus condiciones de aplicabilidad.