Eine Gruppenrepre4sentation auf einem Hilbertraum, die durch unite4re Operatoren realisiert wird, so dass Skalarprodukte (und damit Quantenwahrscheinlichkeiten) unter der Wirkung der Gruppe erhalten bleiben.

Prinzip

Physikalische Symmetrien in der Quantenmechanik entsprechen unite4ren (oder antiunite4ren) Operatoren, weil sie fcbergangs-Wahrscheinlichkeiten erhalten mfcssen; unite4re Darstellungen realisieren stetige Symmetrien durch stark stetige unite4re Ein-Parameter-Gruppen, deren Erzeuger selbstadjungierte Operatoren sind.

Demonstration

Die zeitliche Entwicklung in geschlossenen Quantensystemen ist eine unite4re Darstellung der reellen Achse: t e4 U(t)=exp(-iHt/hbar), eine stark stetige unite4re Ein-Parameter-Gruppe mit Erzeuger H. Drehungen werden durch unite4re Operatoren U(R)=exp(-i btheta b7 J/hbar) ffcr Drehimpulsoperatoren J dargestellt.

Fehlanwendung

Eine nicht-unite4re c4hnlichkeitstransformation als physikalische Symmetrie zu behandeln vere4ndert in der Regel Skalarprodukte und Vorhersagen; die Behandlung dissipativer Dynamik als unite4r verletzt praktisch die Wahrscheinlichkeitskonservierung.

Konsequenz

Unite4re Darstellungen garantieren Wahrscheinlichkeitskonservierung und erlauben die Anwendung spektraler Se4tze und des Stone-Theorems, um stetige Symmetrieparameter mit selbstadjungierten Erzeugern zu verbinden, was beobachtbare Erhaltungsgrf6dfen und Spektralzerlegungen liefert.

Umkehrung

Das Aufgeben der Unite4rite4t ffchrt zu nicht-unite4rer Dynamik ffcr offene Systeme (vollste4ndig positive Abbildungen) oder zu nicht-physikalischen Darstellungen, die Wahrscheinlichkeiten nicht erhalten; antiunite4re Abbildungen (z. B. Zeitreversion) erhalten fcbergangs-Wahrscheinlichkeiten, kehren aber die komplexe Struktur um.

Abgrenzung

Gilt streng ffcr geschlossene Quantensysteme und Symmetriewirkungen auf Hilbertre4umen; in unendlich-dimensionalen Fe4llen treten Domain-Fragen auf, ebenso in projektiven Situationen, wo nur strahlenerhaltende Unite4re existieren, und bei antiunite4ren Symmetrien oder Superselektionsregeln.

Semantische Spannung

Die Spannung liegt zwischen mathematischer Freiheit, Gruppen beliebig linear darzustellen, und der physikalischen Forderung nach Unite4rite4t; unite4re Darstellungen beschre4nken die Realisierungen auf solche, die mit Wahrscheinlichkeitskonservierung und Messtheorie vertre4glich sind.

Synthese

Eine unite4re Darstellung ist die physikalisch zule4ssige Realisierung einer Symmetrie auf einem quantenmechanischen Hilbertraum: sie bewahrt Skalarprodukte und verknfcpft stetige Symmetrieparameter mit selbstadjungierten Erzeugern, die konservierte Observable repre4sentieren.