Une repre9sentation de groupe sur un espace de Hilbert re9alise9e par des ope9rateurs unitaires de telle sorte que les produits scalaires (et donc les probabilite9s quantiques) soient conserve9s sous l'action du groupe.

Principe

Les syme9tries physiques en me9canique quantique correspondent e0 des ope9rateurs unitaires (ou antiunitaires) car elles doivent pre9server les probabilite9s de transition ; les repre9sentations unitaires mettent en oeuvre les syme9tries continues via des groupes unitaires e0 un parame8tre fortement continus ge9ne9re9s par des ope9rateurs autoadjoints.

Démonstration

L' e9volution temporelle dans un syste8me quantique clos est une repre9sentation unitaire de la droite re9elle : t e0 U(t)=exp(-iHt/hbar), un groupe unitaire e0 un parame8tre fortement continu ge9ne9re9 par l'Hamiltonien H. Les rotations sont repre9sente9es par des ope9rateurs unitaires U(R)=exp(-i e9theta b7 J/hbar) pour les ope9rateurs de moment angulaire J.

Mauvaise application

Utiliser une transformation de similarite9 non unitaire pour repre9senter une syme9trie comme si elle e9tait physique modifie ge9ne9ralement les produits scalaires et les pre9dictions ; traiter une dynamique dissipative comme unitaire conduit e0 la violation de la conservation des probabilite9s.

Conséquence

Les repre9sentations unitaires garantissent la conservation des probabilite9s et permettent d'appliquer les the9ore8mes spectraux et le the9ore8me de Stone pour relier les parame8tres continus de syme9trie e0 des ge9ne9rateurs autoadjoints, produisant des quantite9s conserve9es observables et des de9compositions spectrales.

Inversion

Abandonner l'unitarite9 conduit e0 des dynamiques non unitaires adaptées aux syste8mes ouverts (applications comple8tement positives) ou e0 des repre9sentations non physiques qui ne conservent pas les probabilite9s ; les applications antiunitaires (comme l'inversion temporelle) pre9servent les probabilite9s de transition mais inversent la structure complexe.

Limite

S'applique strictement aux syste8mes quantiques clos et aux actions de syme9trie sur des espaces de Hilbert ; des difficulte9s apparaissent en dimension infinie avec des proble8mes de domaine, dans des contextes projectifs of9 seules les unitaires sur rayons existent, et quand des syme9tries antiunitaires ou des re8gles de super-se9lection interviennent.

Tension sémantique

La tension est entre la liberte9 mathe9matique de repre9senter des groupes par des ope9rateurs line9aires quelconques et l'exigence physique d'unitarite9 ; les repre9sentations unitaires restreignent les re9alisations possibles aux seules compatibles avec la conservation de la probabilite9 et la the9orie de la mesure.

Synthèse

Une repre9sentation unitaire est la mise en oeuvre physiquement acceptable d'une syme9trie sur un espace de Hilbert quantique : elle pre9serve les produits scalaires et relie les parame8tres continus de syme9trie e0 des ge9ne9rateurs autoadjoints correspondant e0 des observables conserve9es.