Una representacif3n de grupo en un espacio de Hilbert efectuada por operadores unitarios de modo que los productos internos (y por tanto las probabilidades cue1nticas) se preservan bajo la accif3n del grupo.

Principio

Las simetredas fedsicas en mece1nica cue1ntica corresponden a operadores unitarios (o antiunitarios) porque deben preservar las probabilidades de transicif3n; las representaciones unitarias implementan simetredas continuas mediante grupos unitarios uniparame9tricos fuertemente continuos generados por operadores auto-adjuntos.

Demostración

La evolucif3n temporal en sistemas cue1nticos cerrados es una representacif3n unitaria de la recta real: t a0d0a0a U(t)=exp(-iHt/hbar), un grupo unitario uniparame9trico fuertemente continuo generado por el Hamiltoniano H. Las rotaciones se representan por operadores unitarios U(R)=exp(-i btheta b7 J/hbar) para los operadores de momento angular J.

Aplicación incorrecta

Usar una transformacif3n de similitud no unitaria para representar una simetreda como si fuera fedsica suele cambiar productos internos y predicciones; tratar dine1mica disipativa como unitaria lleva a la violacif3n de la conservacif3n de probabilidades en la pre1ctica.

Consecuencia

Las representaciones unitarias garantizan la conservacif3n de probabilidades y permiten aplicar teoremas espectrales y el teorema de Stone para relacionar pare1metros continuos de simetreda con generadores auto-adjuntos, produciendo cantidades conservadas observables y descomposiciones espectrales.

Inversión

Renunciar a la unitariedad conduce a dine1micas no unitarias apropiadas para sistemas abiertos (mapas completamente positivos) o a representaciones no fedsicas que no preservan probabilidades; las aplicaciones antiunitarias (como la reversif3n temporal) preservan probabilidades de transicif3n pero revierten la estructura compleja.

Límite

Se aplica estrictamente a sistemas cue1nticos cerrados y acciones de simetreda en espacios de Hilbert; surgen complicaciones en casos de dimensif3n infinita con problemas de dominio, en contextos proyectivos donde solo existen unitarios sobre rayos, y cuando intervienen simetredas antiunitarias o reglas de superseleccif3n.

Tensión semántica

La tensif3n este1 entre la libertad mateme1tica de representar grupos por operadores lineales arbitrarios y el requisito fedsico de unitariedad; las representaciones unitarias restringen las realizaciones posibles a las compatibles con la conservacif3n de probabilidades y la teoreda de medida.

Síntesis

Una representacif3n unitaria es la implementacif3n fedsicamente aceptable de una simetreda en un espacio de Hilbert cue1ntico: preserva productos internos y vincula pare1metros continuos de simetreda con generadores auto-adjuntos que corresponden a observables conservados.