Das Auftreten von zwei oder mehr verschiedenen Quanteneigenzuständen mit demselben Eigenwert (Energie oder anderes erhaltenes Observablen), typischerweise verursacht durch zugrunde liegende Symmetrien des Hamiltonoperators oder durch zufällige Parameterverhältnisse; Entartung ist symmetriegeschützt, wenn eine nichttriviale Symmetriegruppe Mehrfachheiten erzeugt.

Prinzip

Wenn der Hamiltonoperator mit einer nichttrivialen Gruppe von Symmetrieoperatoren kommutiert, können seine Eigenzustände Multiplets bilden, die irreduziblen Darstellungen entsprechen; die Mitglieder eines Multiplets teilen denselben Eigenwert, weil Symmetrieoperationen sie ineinander abbilden, wodurch die Entartung proportional zur Darstellungsdimension entsteht.

Demonstration

Rotationssymmetrie in Atomen: Das isotrope Coulombproblem liefert Energieniveaus, die hinsichtlich der magnetischen Quantenzahl m entartet sind (eine (2l+1)-fache Entartung für den Bahndrehimpuls l), weil Rotationen mit dem atomaren Hamiltonoperator kommutieren; ein Kristallfeld verringert die Rotationssymmetrie und spaltet diese Entartungen auf.

Fehlanwendung

Fast gleiche, aber verschiedene Energien als echte Entartung zu bezeichnen, oder Entartung ausschließlich auf zufällige Parameterabstimmung zurückzuführen, ohne nach einer zugrunde liegenden Symmetrie zu suchen; Entartung mit Level‑Crossing zu verwechseln, wenn Parameter kontinuierlich variieren.

Konsequenz

Entartung schränkt erlaubte Antworten ein, führt zu Strukturen von Auswahlregeln und erfordert eine spezielle Behandlung in der Störungstheorie (entartete Störungstheorie); sie ermöglicht geschütztes Verhalten (z. B. Robustheit gegenüber symmetrischen Störungen), macht aber auch empfindlich gegenüber Symmetrie brechenden Termen.

Umkehrung

Das Brechen der schützenden Symmetrie (explizit durch einen symmetriebrechenden Term oder spontan durch einen geordneten Zustand) hebt die Entartung auf und trennt zuvor identische Eigenwerte in verschiedene Niveaus oder Bänder.

Abgrenzung

Gilt für diskrete Eigenwerte hermitescher Operatoren und für Entartung von Observablen mit definierter Symmetrie; schließt keine Nahe‑Entartung ein, bei der Aufspaltungen klein aber endlich sind, und gleicht nicht der Entartung in klassischer Parameterskala oder kombinatorischer Zustandszählung ohne dynamischen Symmetrieinhalt.

Semantische Spannung

Spannung zwischen ‚symmetriegeschützter Entartung‘ und ‚zufälliger Entartung‘ — erstere ist unter symmetrischen Störungen robust, letztere wird durch generische kleine Änderungen aufgehoben; außerdem Spannung zwischen Entartung als mathematischer Vielfachheit und als physikalisch robustes Merkmal, das Symmetrieerklärung erfordert.

Synthese

Entartung ist die Mehrfachheit von verschiedenen Eigenzuständen mit demselben Eigenwert; wenn sie ihren Ursprung in einer Symmetrie hat, bilden diese Zustände Darstellungs‑Multiplets der Symmetriegruppe und erfordern spezielle Methoden, da Symmetriebrechungen die Entartung aufheben können.