La cooccurrence de deux états propres quantiques distincts partageant la même valeur propre (énergie ou autre observable conservée), résultant typiquement de symétries sous-jacentes de l'hamiltonien ou de relations paramétriques accidentelles ; la dégénérescence est protégée par la symétrie si un groupe de symétrie non trivial produit des multiplets.

Principe

Lorsque l'hamiltonien commute avec un groupe de symétrie non trivial, ses états propres peuvent former des multiplets correspondant à des représentations irréductibles ; les membres d'un multiplet partagent la même valeur propre parce que les opérations de symétrie les transforment l'un en l'autre, produisant une dégénérescence proportionnelle à la dimension de la représentation.

Démonstration

Symétrie rotationnelle dans les atomes : le problème coulombien isotrope donne des niveaux d'énergie dégénérés en nombre quantique magnétique m (une dégénérescence de multiplicité 2l+1 pour le moment angulaire orbital l) parce que les rotations commutent avec l'hamiltonien atomique ; le champ cristallin abaisse la symétrie rotationnelle et scinde ces dégénérescences.

Mauvaise application

Qualifier de vraie dégénérescence des énergies proches mais distinctes, ou attribuer la dégénérescence uniquement à un réglage accidentel des paramètres sans rechercher une symétrie sous-jacente ; confondre dégénérescence avec croisement de niveaux lorsque les paramètres varient de façon continue.

Conséquence

La dégénérescence contraint les réponses autorisées, conduit à des structures de règles de sélection et nécessite un traitement spécial en théorie des perturbations (théorie des perturbations dégénérées) ; elle permet un comportement protégé (p. ex. robustesse vis‑à‑vis de perturbations symétriques) mais crée aussi une sensibilité aux termes brisant la symétrie.

Inversion

Briser la symétrie protectrice (explicitement par un terme brisant la symétrie ou spontanément par un état ordonné) lève la dégénérescence et sépare des valeurs propres auparavant identiques en niveaux ou bandes distincts.

Limite

S'applique aux valeurs propres discrètes d'opérateurs hermitiens et à la dégénérescence d'observables munies d'une symétrie bien définie ; n'inclut pas la quasi‑dégénérescence où des séparations sont petites mais finies, ni la dégénérescence en comptage combinatoire ou en espaces de paramètres classiques sans contenu symétrique dynamique.

Tension sémantique

Tension entre « dégénérescence protégée par la symétrie » et « dégénérescence accidentelle » : la première est robuste face à des perturbations symétriques, la seconde est supprimée par des changements génériques ; tension aussi entre dégénérescence comme multiplicité mathématique et comme propriété physique robuste nécessitant une explication symétrique.

Synthèse

La dégénérescence est la multiplicité d'états propres distincts partageant une valeur propre ; si elle repose sur la symétrie, ces états forment des multiplets de représentation du groupe de symétrie et requièrent un traitement spécifique car des perturbations brisant la symétrie peuvent lever la dégénérescence.