Eine Integral-/Operator-Gleichung, die den gestreuten Zustand als freien (ein- oder ausgehenden) Zustand plus die Wirkung der Wechselwirkung über den freien Green-Operator ausdrückt: |ψ±> = |φ> + G0(E ± i0) V |ψ±>, bzw. in Operatorform T = V + V G0(E ± i0) T. Sie ist die formale Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung mit spezifischen ausgehenden (+) oder eingehenden (−) Randbedingungen.

Prinzip

Die richtige kausale Randbedingung (ausgehend oder eingehend) anlegen und die vollständige Wellenfunktion bzw. den Übergangsoperator durch den Resolventen des freien Hamiltonoperators darstellen; dadurch wird das Differentialproblem der Streuung in eine iterierbare Integralgleichung überführt, die die Born-Reihe und Operatorenmanipulationen erlaubt.

Demonstration

Für ein kurzreichweitiges Potential V(r) wird durch Projektion auf ebene Wellen das T-Matrix-Element T(k',k;E) = V(k',k) + ∫ dq V(k',q) G0(E+i0;q) T(q,k;E) erhalten. Die erste Iteration liefert die Born-Näherung T ≈ V, die für schwache Potentiale die Streuamplitude zur niedrigsten Ordnung ergibt und zur Berechnung differentieller Wirkungsquerschnitte dient.

Fehlanwendung

Die Standardform ohne Anpassung des Green-Operators für langreichweitige Coulomb-Wechselwirkungen anwenden oder die ± i0-Vorschrift ignorieren und damit falsche Randbedingungen wählen; divergente Integrale ohne Regularisierung als konvergent behandeln, wenn der freie Resolvent Singularitäten auf der Energienebenfläche hat.

Konsequenz

Stellt einen systematischen Weg für perturbative und nichtperturbative Rechnungen bereit: Born-Reihen, Operatorfaktorisierung und direkte numerische Lösung liefern Streuamplitude, Phasenverschiebungen und gebundene Zustände als Pole (über die homogene Gleichung). Sie bildet die Grundlage für Partialwellenzerlegungen und analytische Fortsetzungstechnik bei Resonanzen.

Umkehrung

Als homogene Gleichung (|φ>=0) formuliert, wird die Lippmann–Schwinger-Bedingung zur Pole- bzw. Zustandsbedingung: (1 − G0 V)|ψ>=0. Umgekehrt identifiziert die Lösung des homogenen Problems gebundene Zustände statt Streulösungen.

Abgrenzung

Gültig für Hamiltonoperatoren, bei denen der freie Resolvent G0(E±i0) wohldefiniert ist und die Wechselwirkung schnell genug abfällt; für echte langreichweitige Kräfte, bestimmte singuläre Potentiale und bei vielteilchenbedingten Kanalverkopplungen sind Modifikationen erforderlich.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen der formalen Exaktheit der Operatorgleichung und praktischen Approximationen: Dieselbe Gleichung liefert exakte Lösungen, eine perturbative Born-Reihe oder divergente Iterationsreihen, abhängig von Potentialstärke und Wahl der analytischen Fortsetzung; dies erzeugt Unsicherheit bei Anwendungen in starken Kopplungsregimen oder für langreichweitige Wechselwirkungen.

Synthese

Die Lippmann–Schwinger-Gleichung ist die formale Integralrepräsentation der quantenmechanischen Streuung: Sie bettet die Wechselwirkung in den freien Resolventen ein, liefert die kausal korrekten Streuzustände und den T-Operator mit physikalischen Streuamplituden und verbindet Streu- und gebundene Zustände durch die homogene Grenze.