Ecuación integral/operador que expresa el estado de dispersión como el estado libre (entrante o saliente) más el efecto de la interacción a través del funcional de Green libre: |ψ±> = |φ> + G0(E ± i0) V |ψ±>, y de forma equivalente T = V + V G0(E ± i0) T. Es la solución formal de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con condiciones de contorno salientes (+) o entrantes (−).

Principio

Imponer la condición causal adecuada (ondas salientes o entrantes) y expresar la función de onda completa o el operador de transición en términos del resolvente del Hamiltoniano libre; esto convierte el problema diferencial de dispersión en una ecuación integral susceptible de iteración (serie de Born) y manipulación operativa.

Demostración

Para un potencial de corto alcance V(r), proyectar la ecuación sobre estados de onda plana produce el elemento de matriz T(k',k;E) = V(k',k) + ∫ dq V(k',q) G0(E+i0;q) T(q,k;E). La primera iteración da la aproximación de Born T ≈ V, que para potenciales débiles proporciona la amplitud de dispersión al orden más bajo usada para calcular secciones eficaces diferenciales.

Aplicación incorrecta

Usar la forma estándar de Lippmann–Schwinger sin modificar la función de Green para interacciones de largo alcance como Coulomb, o ignorar la prescripción ± i0 y escoger condiciones de contorno incorrectas; tratar integrales divergentes como convergentes sin regularización cuando el resolvente libre tiene singularidades en la envolvente energética.

Consecuencia

Proporciona una vía sistemática para cálculos perturbativos y no perturbativos: series de Born, factorización de operadores y solución numérica directa generan la amplitud de dispersión, los desfases y los polos correspondientes a estados ligados (a través de la ecuación homogénea). Sustenta descomposiciones en ondas parciales y técnicas de continuación analítica para resonancias.

Inversión

Considerada como ecuación homogénea (|φ>=0), la condición de Lippmann–Schwinger se convierte en la ecuación de polos para estados ligados/resonancias: (1 − G0 V)|ψ>=0. Invirtiendo la perspectiva, resolver el problema homogéneo identifica estados ligados en lugar de soluciones de dispersión.

Límite

Válida para hamiltonianos donde el resolvente libre G0(E±i0) esté bien definido y la interacción decaiga suficientemente rápido; se requieren modificaciones para fuerzas verdaderamente de largo alcance, para potenciales singulares concretos y cuando correlaciones de muchos cuerpos o acoplos de canales modifican la estructura analítica del resolvente.

Tensión semántica

Existe tensión entre la exactitud formal de la ecuación operador y las aproximaciones prácticas: la misma ecuación conduce a soluciones exactas, a una serie de Born perturbativa o a desarrollos iterativos divergentes según la intensidad del potencial y las elecciones de continuación analítica; esto genera ambigüedad en aplicaciones en regímenes de acoplamiento fuerte o interacciones de largo alcance.

Síntesis

La ecuación de Lippmann–Schwinger es la representación integral formal de la dispersión cuántica: al incorporar la interacción en el resolvente libre produce los estados de dispersión con las condiciones causales correctas y el operador T cuyas matrices son las amplitudes físicas, conectando además dispersión y estados ligados mediante la versión homogénea.