Équation intégrale/opérateur qui exprime l'état diffusé comme l'état libre (entrant ou sortant) plus la contribution de l'interaction via le noyau de Green libre : |ψ±> = |φ> + G0(E ± i0) V |ψ±>, et de manière équivalente T = V + V G0(E ± i0) T. C'est la solution formelle de l'équation de Schrödinger stationnaire avec conditions aux limites entrants (+) ou sortants (−).

Principe

Imposer la condition causale correcte (ondes sortantes ou entrantes) et représenter la fonction d'onde ou l'opérateur de transition en termes du résolvant de l'hamiltonien libre ; ceci transforme le problème différentiel de diffusion en une équation intégrale susceptible d'itération (série de Born) et de manipulations d'opérateurs.

Démonstration

Pour un potentiel à courte portée V(r), projeter l'équation sur des états d'onde plane conduit à l'élément de matrice T(k',k;E) = V(k',k) + ∫ dq V(k',q) G0(E+i0;q) T(q,k;E). La première itération donne l'approximation de Born T ≈ V, qui pour les potentiels faibles fournit l'amplitude de diffusion au premier ordre utilisée pour calculer les sections efficaces différentielles.

Mauvaise application

Utiliser la forme standard de Lippmann–Schwinger sans adapter la fonction de Green pour des interactions coulombiennes à longue portée, ou ignorer la prescription ± i0 et choisir ainsi des conditions aux limites incorrectes ; traiter des intégrales divergentes comme si elles convergeaient sans régularisation lorsque le résolvant libre présente des singularités sur la surface d'énergie.

Conséquence

Fournit une voie systématique pour des calculs perturbatifs et non perturbatifs : séries de Born, factorisation d'opérateurs et résolution numérique directe produisent l'amplitude de diffusion, les déphasages et les pôles liés aux états liés (via l'équation homogène). Elle soutient les décompositions en harmoniques partielles et les techniques de continuation analytique pour les résonances.

Inversion

Considérée comme équation homogène (prendre |φ>=0), la condition de Lippmann–Schwinger devient l'équation des pôles pour états liés/résonances : (1 − G0 V)|ψ>=0. En inversant la perspective, résoudre le problème homogène identifie des états liés plutôt que des solutions de diffusion.

Limite

Valable pour des hamiltoniens où le résolvant libre G0(E±i0) est bien défini et où l'interaction décroît suffisamment rapidement ; des modifications sont requises pour les forces véritablement longues, pour certains potentiels singuliers et lorsque des corrélations multi-particules ou un couplage de canaux modifient la structure analytique du résolvant.

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'exactitude formelle de l'équation opérateur et les approximations pratiques : la même équation fournit des solutions exactes, une série de Born perturbative, ou des développements itératifs divergents selon la force du potentiel et les choix de continuation analytique ; cela crée une ambiguïté quant à l'utilisation pour des couplages forts ou interactions à longue portée.

Synthèse

L'équation de Lippmann–Schwinger est la représentation intégrale formelle de la diffusion quantique : en incorporant l'interaction dans le résolvant libre, elle produit à la fois les états de diffusion avec les bonnes conditions causales et l'opérateur T dont les éléments matriciels sont les amplitudes physiques de diffusion, tout en reliant diffusion et états liés par la limite homogène.