Ein ganzzahliger Eigenwert, der einen Fock-Zustand bezeichnet, indem er angibt, wie viele Quanten (Teilchen, Anregungen) einen bestimmten Modus oder Einteilchenzustand besetzen; die Besetzungszahl für Modus k ist der Eigenwert n des Zahloperators N_k.

Prinzip

Moden eines Quantenfeldes oder eines sekundär quantisierten Systems werden durch die diskreten Eigenwerte eines selbstadjungierten Zahloperators gezählt; diese ganzen Zahlen dienen als Zustandskennzeichnungen im Fock-Raum und bestimmen statistische Gewichtungen für ununterscheidbare Quanten.

Demonstration

Im Ein-Moden-Harmonischen Oszillator hat der Fock-Zustand |n⟩ die Besetzungszahl n. Beispielsweise ist ein Drei-Photonen-Fockzustand in einem Resonatormodus durch n = 3 gekennzeichnet und besitzt für den nichtwechselwirkenden Modus eine Energie proportional zu nℏω.

Fehlanwendung

Die Besetzungszahl als gewöhnliche klassische Teilchenanzahl zu behandeln und 'Teilchen' über inkompatible Moduszerlegungen hinweg einfach zu addieren, ohne die Modusabhängigkeit zu berücksichtigen, führt zu falschen Vorhersagen.

Konsequenz

Die Verwendung von Besetzungszahlen liefert korrekte Erwartungswerte für anzahlabhängige Observablen, ermöglicht kombinatorische Zählungen für bosonische und fermionische Statistik und bietet kompakte Zustandslabel zum Aufbau Vielteilchensysteme mittels Erzeugungsoperatoren.

Umkehrung

Anstelle der Besetzungszahlen kann dasselbe System durch Feldamplituden oder Einteilchen-Wellenfunktionen beschrieben werden, wobei die Teilchenzahl nicht fest ist (kohärente Zustände) und das diskrete Label n durch stetige Amplitudenvariablen ersetzt wird.

Abgrenzung

Gilt wenn eine Moduszerlegung und ein zugehöriger Zahloperator existieren; es ist kein universelles Observabel in relativistischen Theorien, in denen die Teilchenzahl vom Bezugssystem abhängen oder nicht erhalten sein kann, und es ist mit Vorsicht in wechselwirkenden Theorien mit unbestimmtem Teilcheninhalt zu verwenden.

Semantische Spannung

Die Besetzungszahl steht im begrifflichen Widerspruch zu amplitudenbasierten Beschreibungen: sie ist eine diskrete, modus-spezifische Zählung, während Wellenfunktion- oder Feldamplitudenbeschreibungen stetige komplexe Amplituden liefern, die eine feste Teilchenzahl überdecken können.

Synthese

Die Besetzungszahl ist der ganze Eigenwert des Zahloperators, der anschaulich festhält, wie viele ununterscheidbare Quanten einen gegebenen Modus besetzen; sie ist zentral für die Buchführung im Fock-Raum und die Kombinatorik quantenstatistischer Probleme in der Zweiten Quantisierung.