Eine Menge orthonormaler, räumlich lokalisierter Funktionen auf einem Kristallgitter, erhalten durch eine unitäre (Gauge-)Transformation von Bloch-Eigenzuständen; Wannier-Funktionen bilden eine vollständige Basis für die besetzten (oder spezifizierten) Bänder und dienen zur Darstellung elektronischer Zustände im Realraum.

Prinzip

Man führt eine k‑raum-zu‑Realraum-Fourier-Transformation der Bloch-Funktionen mit einer geeigneten Wahl von Phasen (Gauge) und interbandärem Mischen durch, um lokalisierte Orbitale w_n(R)= (1/√N) Σ_k e^{-ik·R} Σ_m U_{mn}(k) ψ_{m,k} zu erhalten, wobei U(k) unitär ist und zur Optimierung der Lokalisation gewählt werden kann.

Demonstration

Für ein isoliertes, nichtentartetes Band in einem Isolator lassen sich die Phasen so wählen, dass die Wannier-Funktion exponentiell um einen Gitterplatz lokalisiert ist; solche Wannier-Funktionen dienen als lokalisierte Orbitale zur Extraktion von Tight-Binding-Parametern und zur Berechnung von Dipolmomenten und Polarisation.

Fehlanwendung

Die Annahme einer eindeutigen Menge von Wannier-Funktionen ohne Beachtung der Gauge-Freiheit oder die naive Konstruktion von Wannier-Funktionen für verschränkte Bänder ohne Disentanglement-Verfahren erzeugt nicht lokalisierte oder physikalisch irreführende Orbitale.

Konsequenz

Wannier-Funktionen liefern eine kompakte, lokalisierte Basis zum Aufbau von Tight-Binding-Hamiltonianen, zur Berechnung lokaler Observablen (Ladungszentren, Orbitalkarakter) und zur systematischen Reduktion ab initio-Hamiltonianen auf Modelle mit wenigen Orbitalen.

Umkehrung

Bloch-Funktionen stellen die komplementäre Sichtweise dar: Sie sind im Impulsraum lokalisierte Eigenzustände, über den Kristall delokalisiert, und die natürliche Basis zur Beschreibung von ausgedehntem Wellenverhalten und Bandgeschwindigkeiten.

Abgrenzung

Definiert für periodische Systeme, in denen Bloch-Zustände existieren; die Lokalisationseigenschaften hängen von der Bandtopologie ab (z. B. können topologisch nichttriviale Bänder exponentiell lokalisierte Wannier-Funktionen verhindern) und davon, ob Bänder isoliert oder verschränkt sind.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Wannier-Funktionen und atomaren Orbitalen oder trialen lokalisierten Basen: Wannier werden aus Bloch-Zuständen konstruiert und sind nur bis auf unitäre Gauge-Transformationen eindeutig, während atomare Orbitale chemisch motiviert sind und ohne Projektion nicht zwangsläufig dasselbe Unterraum aufspannen.

Synthese

Wannier-Funktionen sind die realraumlokalen, gauge‑abhängigen, aber praktisch nützlichen Orbitale, die durch unitäre Transformationen von Bloch‑Bändern erzeugt werden und die Brücke zwischen delokalisierten Bandbeschreibungen und lokalen Tight‑Binding‑ oder Orbitalbildern bilden.