Un ensemble de fonctions orthonormées et spatialement localisées sur un réseau cristallin obtenu par une transformation unitaire (fixation de jauge) des états propres de Bloch ; les fonctions de Wannier constituent une base complète pour les bandes occupées (ou pour des bandes choisies) et permettent de représenter les états électroniques en espace réel.

Principe

Effectuer une transformation de Fourier du domaine k vers l'espace réel des fonctions de Bloch avec un choix de phase (jauge) et de mélange interbande appropriés pour obtenir des orbitales localisées w_n(R)= (1/√N) Σ_k e^{-ik·R} Σ_m U_{mn}(k) ψ_{m,k}, où U(k) est unitaire et peut être choisi pour optimiser la localisation.

Démonstration

Pour une bande isolée et non dégénérée dans un isolant, on peut choisir les phases de sorte que la fonction de Wannier soit localisée exponentiellement autour d'un site du réseau ; ces fonctions servent d'orbitales localisées pour extraire des paramètres tight-binding et pour calculer moments dipolaires et polarisation.

Mauvaise application

Prendre pour acquises des fonctions de Wannier uniques sans tenir compte de la liberté de jauge, ou construire naïvement des Wannier pour des bandes enchevêtrées sans procédure de désenchevêtrement, conduit à des orbitales non localisées ou physiquement trompeuses.

Conséquence

Les fonctions de Wannier fournissent une base localisée compacte pour construire des Hamiltoniens tight-binding, calculer des observables locaux (centres de charge, caractère orbital) et effectuer un « downfolding » systématique des Hamiltoniens ab initio vers des modèles à peu d'orbitales.

Inversion

Les fonctions de Bloch représentent le point de vue complémentaire : ce sont des états propres en espace des moments délocalisés sur le cristal et formant la base naturelle pour décrire le comportement d'onde étendu et les vitesses de bande.

Limite

Définies pour des systèmes périodiques où les états de Bloch existent ; les propriétés de localisation dépendent de la topologie des bandes (par exemple, des bandes topologiquement non triviales peuvent empêcher l'existence de fonctions de Wannier exponentiellement localisées) et du fait que les bandes soient isolées ou enchevêtrées.

Tension sémantique

Tension entre fonctions de Wannier et orbitales atomiques ou bases localisées d'essai : les Wannier sont construites à partir des états de Bloch et ne sont définies de façon unique qu'à une transformation unitaire (jauge), tandis que les orbitales atomiques sont motivées chimiquement et ne couvrent pas nécessairement le même sous-espace sans projection.

Synthèse

Les fonctions de Wannier sont des orbitales localisées en espace réel, dépendantes de la jauge mais utiles, obtenues par transformations unitaires de bandes de Bloch, fournissant le pont entre descriptions de bandes délocalisées et images locales tight-binding ou orbitales.