Un conjunto de funciones ortonormales y espacialmente localizadas en una red cristalina obtenidas mediante una transformación unitaria (elección de gauge) de los estados de Bloch; las funciones de Wannier constituyen una base completa para las bandas ocupadas (o bandas especificadas) y se usan para representar estados electrónicos en el espacio real.

Principio

Realizar una transformada de Fourier desde k al espacio real de las funciones de Bloch con una elección adecuada de fase (gauge) y mezcla entre bandas para obtener orbitales localizados w_n(R)= (1/√N) Σ_k e^{-ik·R} Σ_m U_{mn}(k) ψ_{m,k}, donde U(k) es unitaria y puede escogerse para optimizar la localización.

Demostración

Para una banda aislada y no degenerada en un aislante se pueden elegir las fases de modo que la función de Wannier esté localizada exponencialmente alrededor de un sitio de la red; tales funciones se usan como orbitales localizados para extraer parámetros tight-binding y para calcular momentos dipolares y polarización.

Aplicación incorrecta

Suponer una única colección de funciones de Wannier sin atender a la libertad de gauge, o construir de forma ingenua Wannier para bandas entrelazadas sin procedimientos de disentanglement, produce orbitales no localizadas o físicamente engañosas.

Consecuencia

Las funciones de Wannier proporcionan una base localizada compacta para construir Hamiltonianos tight-binding, calcular observables locales (centros de carga, carácter orbital) y realizar el downfolding sistemático de Hamiltonianos ab initio a modelos de pocas orbitales.

Inversión

Las funciones de Bloch representan el punto de vista complementario: son estados propios en el espacio de momento, deslocalizados a lo largo del cristal, y la base natural para describir comportamiento de onda extendida y velocidades de banda.

Límite

Definidas para sistemas periódicos donde existen estados de Bloch; las propiedades de localización dependen de la topología de las bandas (por ejemplo, bandas topológicamente no triviales pueden impedir Wannier exponencialmente localizadas) y de si las bandas están aisladas o entrelazadas.

Tensión semántica

Existe tensión entre funciones de Wannier y orbitales atómicos o bases localizadas tentativa: las Wannier se construyen a partir de estados de Bloch y sólo están definidas hasta transformaciones unitarias (gauge), mientras que las orbitales atómicas están motivadas químicamente y no garantizan cubrir el mismo subespacio sin proyección.

Síntesis

Las funciones de Wannier son orbitales localizadas en espacio real, dependientes de la elección de gauge pero útiles en práctica, que resultan de transformaciones unitarias de bandas de Bloch y conectan la descripción de bandas deslocalizadas con imágenes locales tipo tight-binding u orbitales.