Eine Metrik auf dem Raum der Quanten-Zustände (Dichtematrizen), definiert aus der Uhlmann-Fidélität; für Dichtematrizen ρ und σ ist die Bures-Distanz D_B(ρ,σ)=sqrt{2-2√F(ρ,σ)}, wobei F(ρ,σ) die Fidelity ist. Sie misst die Unterscheidbarkeit von Zuständen, ist kontrahierend unter vollständig positiven, spur-erhaltenden Abbildungen und stimmt für reine Zustände mit dem Fubini–Study-Winkel überein.

Prinzip

Eine riemannsche Metrik aus der Fidelity ableiten, die unter verrauschten Quantentransformationen monoton schrumpft und für reine Zustände den Hilbertraumwinkel liefert.

Demonstration

Für zwei reine Qubit-Zustände |ψ⟩ und |φ⟩ beträgt die Fidelity |⟨ψ|φ⟩|^2, sodass die Bures-Distanz sqrt{2-2|⟨ψ|φ⟩|} ergibt. Für einen gemischten Qubit ρ=(I+r·σ)/2 und das maximally mixed σ=I/2 berechnet man zuerst die Fidelity und dann D_B, was eine konkrete Distanz in Abhängigkeit der Bloch-Vektor-Länge r liefert.

Fehlanwendung

Die Bures-Formel auf nicht normierte oder nicht positive Operatoren anwenden oder fälschlich als additiv bei Tensorprodukten behandeln, ohne Korrelationsbeiträge zu berücksichtigen. Ebenso falsch ist es, sie ohne Weiteres anstelle der Spurdistanz in operationalen Aussagen über Fehlerraten zu verwenden.

Konsequenz

Richtig angewandt liefert die Bures-Distanz eine Metrik, die die Kontraktion unter Quantenkanälen respektiert und einen natürlichen infinitesimalen Metrik für die quantenstatistische Schätzung bereitstellt; sie charakterisiert geometrisch Zustandswinkel und Beschränkungen der Unterscheidbarkeit nach Verarbeitungen.

Umkehrung

Statt die fidelity-basierte Geometrie zu nutzen, kann man Spurdistanz oder relative Entropie verwenden; diese Alternativen haben unterschiedliche Monotonieeigenschaften und operationelle Bedeutungen (Spurdistanz steht in direkter Beziehung zur optimalen Einmal-Unterscheidung, ist jedoch nicht riemannsch).

Abgrenzung

Definiert nur für positiv semidefinite Dichtematrizen mit Spur eins (in endlichen oder wohlverhaltenen unendlichen Hilberträumen). Die Berechnung erfordert Operatorwurzeln, was bei schlecht konditionierten Zuständen numerische Schwierigkeiten verursachen kann. Nicht anwendbar auf unnormierte Operatoren oder klassische Verteilungen ohne Einbettung in Dichtematrizen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Verwendung der Bures-Distanz (fidelity-basierter, geometrischer Begriff) und Spurdistanz bzw. relativer Entropie (operationelle Unterscheidbarkeitsmaße). Verschiedene Aufgaben bevorzugen verschiedene Maße.

Synthese

Die Bures-Distanz ist die aus der Fidelity abgeleitete riemannsche Metrik auf Dichtematrizen: sie verbindet die winkelige Geometrie reiner Zustände mit einem kontrahierenden Maß für die Unterscheidbarkeit gemischter Zustände und ist sinnvoll, wenn eine mit Quantenkanälen verträgliche Geometrie benötigt wird.