Une métrique sur l'espace des états quantiques (opérateurs densité) définie à partir de la fidélité d'Uhlmann ; pour des matrices de densité ρ et σ la distance de Bures est D_B(ρ,σ)=sqrt{2-2√F(ρ,σ)}, où F(ρ,σ) est la fidélité. Elle quantifie la distinguabilité des états, est contractante sous les applications complètement positives et préservant la trace, et coïncide avec l'angle de Fubini–Study pour des états purs.

Principe

Construire une distance riemannienne induite par la fidélité, décroissante sous bruit quantique (monotonie), et réductible à l'angle d'espace de Hilbert pour les états purs.

Démonstration

Pour deux états purs de qubit |ψ⟩ et |φ⟩ la fidélité vaut |⟨ψ|φ⟩|^2, donc la distance de Bures devient sqrt{2-2|⟨ψ|φ⟩|}. Pour un état mixte ρ=(I+r·σ)/2 et l'état maximement mélangé σ=I/2, on calcule la fidélité puis D_B pour obtenir une distance concrète reflétant la longueur du vecteur de Bloch r.

Mauvaise application

Appliquer la formule de Bures à des opérateurs non normalisés ou non positifs, ou la traiter comme additive sous produits tensoriels sans tenir compte des corrélations. Une erreur fréquente consiste à la confondre avec la trace-distance dans des affirmations opérationnelles sur les probabilités d'erreur où la trace-distance est pertinente.

Conséquence

Utilisée correctement, la distance de Bures fournit une métrique qui respecte la contraction par canaux quantiques et donne un métrique infinitésimal naturel pour l'inférence statistique quantique ; elle identifie des angles géométriques entre états purs et contraint la distinguabilité après traitement.

Inversion

Au lieu d'utiliser la géométrie induite par la fidélité, on peut employer la trace-distance ou l'entropie relative ; ces alternatives diffèrent par la monotonie, le sens opérationnel et les propriétés métriques (la trace-distance est reliée à la discrimination optimale en une seule fois mais n'est pas riemannienne).

Limite

Définie uniquement pour des opérateurs densité (semi-définis positifs, trace égale à 1) sur des espaces de Hilbert finis ou bien comportés. Elle exige le calcul de racines d'opérateurs, ce qui pose des problèmes numériques pour des états mal conditionnés. Elle n'est pas adaptée aux opérateurs non normalisés ou aux distributions classiques sans élévation en matrices densité.

Tension sémantique

Tension entre l'usage de la distance de Bures (notion géométrique, basée sur la fidélité) et l'utilisation de la trace-distance ou de l'entropie relative (notions opérationnelles de distinguabilité). Les tâches différentes privilégient des distances différentes.

Synthèse

La distance de Bures est la métrique riemannienne dérivée de la fidélité sur les opérateurs densité : elle réconcilie l'intuition angulaire pour les états purs et une mesure contractante de distinguabilité pour les états mixtes, utile chaque fois qu'une géométrie compatible avec les canaux quantiques est nécessaire.