Una métrica en el espacio de estados cuánticos (operadores densidad) definida a partir de la fidelidad de Uhlmann; para matrices de densidad ρ y σ la distancia de Bures es D_B(ρ,σ)=sqrt{2-2√F(ρ,σ)}, donde F(ρ,σ) es la fidelidad. Cuantifica la distinguibilidad de estados, es contractiva bajo canales completamente positivos y que preservan la traza, y coincide con el ángulo de Fubini–Study para estados puros.

Principio

Construir una distancia riemanniana inducida por la fidelidad, que decrezca bajo canales ruidosos (monotonía) y se reduzca al ángulo en el espacio de Hilbert para estados puros.

Demostración

Para dos estados puros de qubit |ψ⟩ y |φ⟩ la fidelidad es |⟨ψ|φ⟩|^2, así la distancia de Bures se convierte en sqrt{2-2|⟨ψ|φ⟩|}. Para un mixto ρ=(I+r·σ)/2 y el maximizadamente mixto σ=I/2 se calcula la fidelidad y después D_B para obtener una distancia concreta que refleja la longitud del vector de Bloch r.

Aplicación incorrecta

Aplicar la fórmula de Bures a operadores no normalizados o no positivos, o asumir su aditividad en productos tensoriales sin considerar correlaciones. Otro mal uso habitual es sustituirla ciegamente por la distancia de traza en enunciados operacionales sobre probabilidades de error, donde la distancia de traza es la relevante.

Consecuencia

Bien empleada, la distancia de Bures proporciona una métrica que respeta la contracción por canales cuánticos y ofrece una métrica infinitesimal natural para la inferencia estadística cuántica; identifica ángulos geométricos entre estados puros y restringe la distinguibilidad tras el procesamiento.

Inversión

En lugar de la geometría inducida por la fidelidad, se puede usar la distancia de traza o la entropía relativa; estas alternativas difieren en monotonía, significado operativo y propiedades métricas (la distancia de traza está ligada a la discriminación óptima en un solo intento pero no es riemanniana).

Límite

Definida solo para operadores densidad positivos semidefinidos y de traza uno (en espacios de Hilbert finitos o bien comportados). Requiere computar raíces de operadores, lo que plantea problemas numéricos para estados mal condicionados. No es aplicable a operadores no normalizados ni a distribuciones clásicas sin elevarlas a matrices densidad.

Tensión semántica

Tensión entre usar la distancia de Bures (noción geométrica basada en fidelidad) y usar distancia de traza o entropía relativa (nociones de distinguibilidad operacional). Diferentes tareas favorecen distintas medidas.

Síntesis

La distancia de Bures es la métrica riemanniana derivada de la fidelidad sobre operadores densidad: concatena la intuición angular para estados puros con una medida contractiva de distinguibilidad para estados mixtos, útil siempre que se precise una geometría compatible con los canales cuánticos.