Die komplexwertige Funktion ψ(x), die einen Quantenzustand als Komponente in der Ortsbasis darstellt; ihr Quadratbetrag |ψ(x)|2 liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte, das System bei Position x zu finden, und ψ gehört zu einem geeigneten Funktionsraum oder seiner rigged-Erweiterung.

Prinzip

Die Bornsche Regel und die Darstellung von Zustandsvektoren in einer kontinuierlichen Basis: Physikalische Vorhersagen für Ortsmessungen ergeben sich aus dem Skalarprodukt zwischen Zustand und Orts-Eigenketten, ψ(x)=⟨x|ψ⟩, mit Normierungs- und unitären Evolutionsbedingungen.

Demonstration

Für ein Teilchen in einer eindimensionalen unendlichen Potentialmauer ist ψn(x)=sqrt(2/L) sin(nπx/L) auf [0,L]; ein gaußsches Wellenpaket ψ(x)=(2πσ2)^{-1/4} exp[-(x-x0)2/(4σ2)+ik0x] ist normiert und zeigt, wie |ψ|2 lokalisiert und sich bei freier Entwicklung ausbreitet.

Fehlanwendung

ψ(x) als klassisches Feld zu behandeln, das Energiedichte trägt, oder als direkt beobachtbare skalare Größe statt als Wahrscheinlichkeitsamplitude; nicht normalisierbare ebene Wellen als physikalische Zustände zu verwenden ohne Wellenpakete oder rigged-Hilbert-space-Formulierung.

Konsequenz

Richtige Anwendung liefert Wahrscheinlichkeitsdichten, Erwartungswerte ⟨x⟩ und Momente über Integrale ∫ψ*(x) x ψ(x) dx und führt zur Kontinuitätsgleichung für den Wahrscheinlichkeitsstrom; sie ermöglicht die Berechnung von Messstatistiken und der zeitlichen Entwicklung in der Ortsdarstellung.

Umkehrung

Die Impulsraum-Wellenfunktion φ(p)=⟨p|ψ⟩, erhalten durch Fourier-Transformation, oder das Arbeiten in der Heisenberg-Darstellung, in der Zustände fest und Operatoren zeitabhängig sind, kehren den Fokus von Ortsamplituden um.

Abgrenzung

Gilt in der nichtrelativistischen Quantenmechanik und für koordinatenabhängige Mehrteilchensysteme; schließt Feldoperatoren der relativistischen Quantenfeldtheorie und Systeme ohne wohldefinierte Ortsbasis (reine Spinsysteme) aus und erfordert Vorsicht bei Distributionen und nicht normierbaren Zuständen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen der Deutung von ψ(x) als physikalischer Eigenschaft und als representationabhängiger Komponente eines abstrakten Zustandsvektors; zudem Spannung zwischen der probabilistischen Rolle von |ψ|2 und der Bedeutung der komplexen Phase von ψ in Interferenzphänomenen.

Synthese

Die Ortsraum-Wellenfunktion ist die Darstellung eines Quantenzustands in der kontinuierlichen Ortsbasis: eine (gegebenenfalls distributionelle) komplexe Amplitude, deren Quadratbetrag lokale Messwahrscheinlichkeiten liefert und deren Transformationen und Entwicklungen die physikalischen Observablen verbinden.