La función compleja ψ(x) que representa un estado cuántico como componente en la base de posición; su módulo al cuadrado |ψ(x)|2 da la densidad de probabilidad de encontrar el sistema en la posición x al medir, y ψ pertenece a un espacio de funciones apropiado o a su extensión rigged.

Principio

La regla de Born y la representación de vectores de estado en una base continua: las predicciones para medidas de posición se obtienen del producto interior entre el estado y los autoestados de posición, ψ(x)=⟨x|ψ⟩, con condiciones de normalización y evolución unitaria.

Demostración

Para una partícula en una caja unidimensional infinita, ψn(x)=sqrt(2/L) sin(nπx/L) en [0,L]; un paquete de onda gaussiano ψ(x)=(2πσ2)^{-1/4} exp[-(x-x0)2/(4σ2)+ik0x] está normalizado y muestra cómo |ψ|2 se localiza y dispersa bajo evolución libre.

Aplicación incorrecta

Tratar ψ(x) como campo clásico que transporta densidad de energía o como una cantidad observable directa en lugar de una amplitud de probabilidad, o usar ondas planas no normalizables como estados físicos sin construir paquetes de onda ni invocar la formalidad del espacio de Hilbert triplete.

Consecuencia

El uso correcto proporciona densidades de probabilidad, valores esperados ⟨x⟩ y momentos mediante integrales ∫ψ*(x) x ψ(x) dx, y conduce a ecuaciones de continuidad para la corriente de probabilidad; permite calcular estadísticas de medida y la propagación dinámica en la representación de posición.

Inversión

La función de onda en espacio de momentum φ(p)=⟨p|ψ⟩ obtenida por transformada de Fourier, o trabajar en la imagen de Heisenberg donde los estados son fijos y los operadores evolucionan, invierte el énfasis sobre las amplitudes de posición.

Límite

Se aplica en la mecánica cuántica no relativista y en representaciones de coordenadas de sistemas multipartícula; excluye operadores de campo en teoría cuántica de campos relativista y sistemas sin una base de posición bien definida (sistemas de spin puros), y requiere cuidado con distribuciones y estados no normalizables.

Tensión semántica

Tensión entre interpretar ψ(x) como una propiedad física frente a una componente dependiente de la representación de un vector de estado abstracto; otra tensión entre el rol probabilístico de |ψ|2 y la importancia de la fase compleja de ψ en interferencias.

Síntesis

La función de onda en espacio de posición es la representación de un estado cuántico en la base continua de posiciones: una amplitud compleja (posiblemente distribuciónal) cuyo módulo al cuadrado da probabilidades locales de medida y cuyas transformaciones y evolución se relacionan con los observables físicos.