La fonction à valeurs complexes ψ(x) qui représente un état quantique comme composante dans la base des positions ; son module au carré |ψ(x)|2 fournit la densité de probabilité de trouver le système à la position x lors d'une mesure, et ψ appartient à un espace de fonctions approprié ou à son extension rigide.

Principe

La règle de Born et la représentation des vecteurs d'état dans une base continue : les prédictions physiques pour les mesures de position s'obtiennent par le produit scalaire entre l'état et les états propres de position, donnant ψ(x)=⟨x|ψ⟩, avec contraintes de normalisation et d'évolution unitaire.

Démonstration

Pour une particule dans une boîte infinie unidimensionnelle, ψn(x)=sqrt(2/L) sin(nπx/L) sur [0,L] ; un paquet d'ondes gaussien ψ(x)=(2πσ2)^{-1/4} exp[-(x-x0)2/(4σ2)+ik0x] est normalisé et montre comment |ψ|2 localise et se disperse sous l'évolution libre.

Mauvaise application

Considérer ψ(x) comme un champ classique portant une densité d'énergie ou comme une grandeur directement observable au lieu d'un amplitude de probabilité, ou utiliser des ondes planes non normalisables comme états physiques sans former des paquets d'ondes ni invoquer la structure d'espace de Hilbert triplet.

Conséquence

Une utilisation correcte fournit des densités de probabilité, des valeurs moyennes ⟨x⟩ et des moments via des intégrales ∫ψ*(x) x ψ(x) dx, et engendre des équations de continuité pour le courant de probabilité ; elle permet le calcul des statistiques de mesure et de la propagation dynamique en représentation de position.

Inversion

La fonction d'onde en espace des impulsions φ(p)=⟨p|ψ⟩ obtenue par transformée de Fourier, ou travailler dans la représentation de Heisenberg où les états sont fixes et les opérateurs évoluent, inverse l'accent mis sur les amplitudes de position.

Limite

S'applique en mécanique quantique non relativiste et aux représentations coordonnées multi-particules ; exclut les opérateurs de champ en théorie quantique des champs relativiste et les systèmes sans base de position bien définie (systèmes de spin purs), et exige de la prudence pour les distributions et états non normalisables.

Tension sémantique

Tension entre l'interprétation de ψ(x) comme propriété physique et comme composante dépendant de la représentation d'un vecteur d'état abstrait ; autre tension entre le rôle probabiliste de |ψ|2 et la signification globale de la phase complexe de ψ dans les interférences.

Synthèse

La fonction d'onde en espace de position est la représentation d'un état quantique dans la base continue des positions : une amplitude complexe (éventuellement distributionnelle) dont le module au carré donne les probabilités locales de mesure et dont l'évolution et les transformations relient aux observables physiques.