Eine Funktion oder ein Maß, das beschreibt, wie die spektrale Gewichtung eines Operators oder Systems über eine kontinuierliche Variable wie Energie, Frequenz oder Impuls verteilt ist; Beispiele sind die Zustandsdichte pro Energie und die Spektralfunktion A(k,ω), welche die energieaufgelöste Besetzung oder Antwort liefert.

Prinzip

Aus dem Spektralsatz und der linearen Antwort: ein selbstadjungierter Operator entspricht einer projektionswertigen Maßfunktion, deren Ableitung (falls existent) die Spektraldichte ist; in der Vielteilchenphysik hängen Spektraldichten mit Greenschen Funktionen zusammen, und ihre Imaginärteile bestimmen beobachtbare Spektrallinien und Lebensdauern.

Demonstration

Die Zustandsdichte eines freien Teilchens in drei Dimensionen skaliert als ρ(E)∝V√E für nichtrelativistische Dispersionsrelationen, und die Einteilchen-Spektralfunktion A(k,ω)=-(1/π)Im G^R(k,ω) kodiert Quasiteilchenpeaks und Linienbreiten, die in Spektroskopien wie Photoemission gemessen werden.

Fehlanwendung

Die Quantenspektaldichte (Operator-Spektralmaß oder Vielteilchen-Spektralfunktion) mit der klassischen Leistungsdichtespektrums stochastischer Signale zu verwechseln, oder diskrete Niveauaufzählungen endlicher Systeme als kontinuierliche Dichten ohne geeignetes Glätten oder Finite-Size-Skalierung zu interpretieren.

Konsequenz

Richtige Anwendung liefert Vorhersagen für Antwortfunktionen, Absorptions- und Emissionsspektren, Zerfallsraten und Transportkoeffizienten; sie verbindet Operatorenspektren, Korrelationsfunktionen und experimentell messbare frequenz- oder energieaufgelöste Signale.

Umkehrung

Ein reines Punktespektrum, bestehend aus diskreten δ-Peaks (keine kontinuierliche Dichte), für das eine Dichtefunktion nur als Summe gewichteter δ-Funktionen existiert; in diesem Fall konzentriert sich das Spektralgewicht auf diskrete Eigenwerte.

Abgrenzung

Gilt für Operatoren auf Hilberträumen und für Vielteilchenkorrelationsfunktionen; die Spektraldichte kann ein singuläres Maß sein, das kontinuierliche, absolutstetig, singulär-kontinuierliche und punktuelle Anteile kombiniert, und ihre Existenz als L1-Funktion erfordert Bedingungen, die nicht immer erfüllt sind.

Semantische Spannung

Spannung zwischen unterschiedlichen Verwendungen des Begriffs in Teilgebieten: 'Spektraldichte' kann Zustandsdichte, Leistungsdichtespektrum oder Vielteilchen-Spektralfunktion bedeuten; mathematisch ist es ein Maß zu einem Operator, während Physiker es oft nach Grobmittelung als glatte Funktion behandeln.

Synthese

Spektraldichte ist das Maß oder die Dichte, die beschreibt, wie das spektrale Gewicht eines Operators oder Systems über Energie, Frequenz oder Impuls verteilt ist: sie ergibt sich aus dem Spektralsatz, verknüpft sich mit Greenschen Funktionen und Antwortgrößen und kann je nach System als glatte Funktion oder als singuläres Maß erscheinen.