Une fonction ou une mesure qui quantifie comment le poids spectral d'un opérateur ou d'un système est réparti sur une variable continue telle que l'énergie, la fréquence ou l'impulsion ; exemples : la densité d'états par énergie et la fonction spectrale A(k,ω) donnant l'occupation ou la réponse résolue en énergie.

Principe

D'après le théorème spectral et la théorie de la réponse linéaire : un opérateur autoadjoint correspond à une mesure projective dont la dérivée (lorsqu'elle existe) est la densité spectrale ; en théorie des systèmes à plusieurs corps, les densités spectrales sont reliées aux fonctions de Green et leurs parties imaginaires déterminent les raies spectrales observables et les durées de vie.

Démonstration

La densité d'états d'une particule libre en trois dimensions évolue comme ρ(E)∝V√E pour une dispersion non relativiste, et la fonction spectrale A(k,ω)=-(1/π)Im G^R(k,ω) encode des pics de quasiparticules et leurs largeurs mesurables en spectroscopies comme la photoémission.

Mauvaise application

Confondre la densité spectrale quantique (mesure spectrale d'opérateur ou fonction spectrale en théorie à plusieurs corps) avec la densité spectrale de puissance classique de signaux stochastiques, ou interpréter des niveaux discrets de taille finie comme des densités continues sans lissage ou mise à l'échelle des effets de taille finie.

Conséquence

Une utilisation correcte permet de prédire fonctions de réponse, spectres d'absorption et d'émission, taux de décroissance et coefficients de transport ; elle fait le lien entre spectres d'opérateurs, fonctions de corrélation et signaux expérimentaux résolus en fréquence ou énergie.

Inversion

Un spectre à points purs composé de pics δ discrets (sans densité continue), pour lequel une fonction densité peut n'exister que comme somme de δ pondérés ; dans ce cas le poids spectral est concentré sur des valeurs propres discrètes.

Limite

S'applique aux opérateurs sur espaces de Hilbert et aux fonctions de corrélation en systèmes à plusieurs corps ; la densité spectrale peut être une mesure singulière combinant parties continues, absolument continues, singulièrement continues et ponctuelles, et son existence comme fonction L1 demande des conditions non toujours satisfaites.

Tension sémantique

Tension entre les différents usages du terme selon les sous-domaines : « densité spectrale » peut désigner densité d'états, densité spectrale de puissance ou fonction spectrale en systèmes à plusieurs corps ; mathématiquement c'est une mesure associée à un opérateur, tandis que les physiciens la traitent souvent comme une fonction lissée après moyennage.

Synthèse

La densité spectrale est la mesure ou la densité décrivant la répartition du poids spectral d'un opérateur ou d'un système en énergie, fréquence ou impulsion : elle découle du théorème spectral, se connecte aux fonctions de Green et à la réponse, et peut apparaître comme fonction lisse ou mesure singulière selon le système.