Una función o medida que cuantifica cómo se distribuye el peso espectral de un operador o sistema sobre una variable continua como energía, frecuencia o momento; ejemplos son la densidad de estados por energía y la función espectral A(k,ω) que da ocupación o respuesta resuelta en energía.

Principio

A partir del teorema espectral y la respuesta lineal: un operador autoadjunto corresponde a una medida valorada en proyecciones cuya derivada (cuando existe) es la densidad espectral; en teoría de muchos cuerpos, las densidades espectrales se relacionan con funciones de Green y sus partes imaginarias determinan líneas espectrales observables y vidas medias.

Demostración

La densidad de estados de una partícula libre en tres dimensiones escala como ρ(E)∝V√E para dispersión no relativista, y la función espectral de una partícula A(k,ω)=-(1/π)Im G^R(k,ω) codifica picos de quasipartículas y anchuras de línea medidas en espectroscopias como fotoemisión.

Aplicación incorrecta

Confundir la densidad espectral cuántica (medida espectral de operador o función espectral de muchos cuerpos) con la densidad espectral de potencia clásica de señales estocásticas, o interpretar listados de niveles discretos de tamaño finito como densidades continuas sin un suavizado apropiado o escalado de tamaño finito.

Consecuencia

Su uso adecuado proporciona predicciones para funciones de respuesta, espectros de absorción y emisión, tasas de decaimiento y coeficientes de transporte; enlaza espectros de operadores, funciones de correlación y señales experimentales resueltas en frecuencia o energía.

Inversión

Un espectro de punto puro compuesto por picos δ discretos (sin densidad continua), para el cual una función densidad puede no existir salvo como suma de δ ponderadas; en ese caso el peso espectral está concentrado en eigenvalores discretos.

Límite

Se aplica a operadores en espacios de Hilbert y a funciones de correlación en sistemas de muchos cuerpos; la densidad espectral puede ser una medida singular que combina partes continuas, absolutamente continuas, singularmente continuas y puntuales, y su existencia como función L1 requiere condiciones que no siempre se cumplen.

Tensión semántica

Tensión entre los distintos usos del término en subcampos: 'densidad espectral' puede significar densidad de estados, densidad espectral de potencia o función espectral de muchos cuerpos; matemáticamente es una medida asociada a un operador, mientras los físicos la tratan a menudo como una función suavizada tras promediar.

Síntesis

La densidad espectral es la medida o densidad que describe cómo se distribuye el peso espectral de un operador o sistema en energía, frecuencia o momento: surge del teorema espectral, se conecta con funciones de Green y respuesta, y puede aparecer como funciones lisas o como medidas singulares según el sistema.