Die Menge von Zwangsbedingungen an Testfunktionen und deren Variationen an räumlichen, zeitlichen oder funktionalen Grenzen, die für die Gültigkeit variationaler Herleitungen erforderlich sind: typische Bedingungen sind quadratintegrierbarkeit, vorgeschriebene Werte oder Verschwinden an physikalischen Wänden, asymptotischer Abfall im Unendlichen sowie Kusp- oder Stetigkeitsbedingungen bei singulären Potentialen.

Prinzip

Variationen müssen zulässig sein: Randterme, die bei partieller Integration entstehen, müssen verschwinden oder durch feste Randwerte berücksichtigt werden; nur dann folgen die Euler–Lagrange- (bzw. Stationaritäts-) Gleichungen aus dem Variationsprinzip ohne zusätzliche Flächenterme.

Demonstration

Für ein Teilchen in einer unendlichen Potentialbox verlangen, dass Testwellenfunktionen an den Wänden der Box verschwinden, so dass die durch Variation entstehenden Randterme wegfallen; die Forderung psi(0)=psi(L)=0 führt zur korrekten Eigenwertaufgabe und zum diskreten Spektrum in der variationalen Herleitung.

Fehlanwendung

Erlauben von Variationen, die feste Randwerte ändern, oder Ignorieren von Kuspbedingungen an Kernen in Elektronenstrukturrechnungen, wodurch nichtverschwindende Randterme entstehen und die abgeleiteten Stationaritätsgleichungen ungültig werden oder die Konvergenz stark verlangsamt wird.

Konsequenz

Korrekte Randbedingungen garantieren, dass die variationelle Stationarität zu den beabsichtigten Operatorgleichungen führt und numerische Optimierungen zu physikalisch sinnvollen Lösungen konvergieren; sie legen auch den geeigneten Funktionsraum für Testzustände fest.

Umkehrung

Freie Randvariationen anstelle fester Werte zuzulassen erzeugt zusätzliche Euler–Lagrange-Bedingungen an den Rändern (natürliche Randbedingungen) oder führt zu physikalisch anderen Lösungen; umgekehrt kann eine Überkonstriktion der Ränder legitime stationäre Zustände ausschließen.

Abgrenzung

Betrifft räumliche Gebietsränder, asymptotische Bedingungen im Unendlichen, Eich- und Phasenfestlegung, Orthonormalitätszwänge und Zulässigkeit im Funktionsraum; schließt willkürliche Forderungen aus, die mit dem Selbstadjungiertheitsbereich des Hamiltonoperators in Konflikt stehen.

Semantische Spannung

Konflikt zwischen strengem Randbedingungen-Zwang zur Vereinfachung der Herleitungen (der nützliche Testfunktionen ausschließen kann) und lockererer Randbehandlung (die die variationelle Herleitung mit Flächentermen verkompliziert); außerdem Spannung zwischen analytischer Randdurchsetzung und numerischer approximativer Durchsetzung.

Synthese

Randbedingungen in variationalen Rechnungen sind die präzisen Spezifikationen, die Variationen zulässig machen: Durch Erzwingen geeigneten Verhaltens an Bereichsrändern und Singularitäten stellt man sicher, dass Stationarität die richtigen inneren Gleichungen liefert und Approximationen physikalisch gültig bleiben.