El conjunto de restricciones sobre funciones de prueba y sus variaciones en fronteras espaciales, temporales o funcionales requeridas para la validez de las derivaciones variacionales: condiciones típicas son la cuadrado-integrabilidad, valores especificados o anulación en paredes físicas, decaimiento asintótico en el infinito y condiciones de cuspide o continuidad requeridas por potenciales singulares.

Principio

Las variaciones deben ser admisibles: los términos de contorno producidos por integración por partes deben anularse o contabilizarse mediante valores fijos en la frontera; solo entonces las ecuaciones de Euler–Lagrange (o de estacionariedad) siguen del principio variacional sin contribuciones superficiales adicionales.

Demostración

Para una partícula en una caja de potencial infinita, exigir que las funciones de prueba se anulen en las paredes de la caja para que los términos de contorno de la variación desaparezcan; imponer psi(0)=psi(L)=0 conduce al problema de valores propios correcto y a un espectro discreto mediante la derivación variacional.

Aplicación incorrecta

Permitir variaciones que cambien valores de contorno fijos o ignorar condiciones de cuspide en los núcleos en cálculos de estructura electrónica, lo que introduce términos de contorno no nulos y invalida las ecuaciones de estacionariedad derivadas o ralentiza drásticamente la convergencia.

Consecuencia

Las condiciones de contorno correctas garantizan que la estacionariedad variacional conduzca a las ecuaciones operatorias previstas y que las optimizaciones numéricas converjan a soluciones físicamente significativas; también determinan el espacio funcional apropiado para los estados de prueba.

Inversión

Permitir variaciones libres en la frontera en lugar de valores fijos produce condiciones adicionales de Euler–Lagrange en la frontera (condiciones naturales de contorno) o genera soluciones físicamente diferentes; a la inversa, sobre-constreñir las fronteras puede eliminar estados estacionarios legítimos.

Límite

Abarca límites del dominio espacial, condiciones asintóticas en el infinito, fijación de gauge y fase, restricciones de ortonormalidad y admisibilidad en el espacio funcional; excluye la imposición arbitraria de condiciones que entren en conflicto con el dominio de auto-adjunción del Hamiltoniano.

Tensión semántica

Conflicto entre imponer condiciones de contorno estrictas para simplificar derivaciones (que pueden excluir funciones de prueba útiles) y permitir un tratamiento más laxo de las fronteras (que complica la derivación variacional con términos de superficie); también tensión entre imposición analítica de fronteras y ejecución numérica aproximada.

Síntesis

Las condiciones de contorno en cálculos variacionales son las especificaciones precisas que hacen admisibles las variaciones: al imponer un comportamiento apropiado en los bordes del dominio y en las singularidades se asegura que la estacionariedad produzca las ecuaciones internas correctas y que las aproximaciones permanezcan físicamente válidas.