L'ensemble des contraintes sur les fonctions d'essai et leurs variations aux frontières spatiales, temporelles ou fonctionnelles requises pour la validité des dérivations variationnelles : conditions typiques : intégrabilité au carré, valeurs spécifiées ou annulation aux parois physiques, décroissance asymptotique à l'infini et conditions de cusp ou de continuité imposées par des potentiels singuliers.

Principe

Les variations doivent être admissibles : les termes de frontière issus d'une intégration par parties doivent s'annuler ou être pris en compte par des valeurs limites fixées ; seulement alors les équations d'Euler–Lagrange (ou stationnarité) découlent du principe variationnel sans contributions de surface additionnelles.

Démonstration

Pour une particule dans une boîte de potentiel infini, exiger que les fonctions d'essai s'annulent aux parois de la boîte afin que les termes de surface provenant de la variation disparaissent ; imposer psi(0)=psi(L)=0 conduit au problème propre correct et à un spectre discret par dérivation variationnelle.

Mauvaise application

Permettre des variations qui modifient des valeurs limites fixées ou ignorer les conditions de cusp aux noyaux dans les calculs de structure électronique, ce qui introduit des termes de surface non nuls et invalide les équations de stationnarité obtenues ou ralentit fortement la convergence.

Conséquence

Des conditions aux limites correctes garantissent que la stationnarité variationnelle conduit aux équations opératoires prévues et que les optimisations numériques convergent vers des solutions physiquement significatives ; elles déterminent aussi l'espace fonctionnel approprié pour les états d'essai.

Inversion

Permettre des variations libres aux frontières au lieu de valeurs fixées produit des conditions d'Euler–Lagrange additionnelles aux frontières (conditions naturelles aux limites) ou engendre des solutions physiquement différentes ; inversement, surcontraindre les frontières peut éliminer des états stationnaires légitimes.

Limite

Concerne les limites du domaine spatial, les conditions asymptotiques à l'infini, le choix de jauge et de phase, les contraintes d'orthonormalité et l'admissibilité dans l'espace des fonctions ; exclut l'imposition arbitraire de conditions qui entrent en conflit avec le domaine d'auto-adjonction du Hamiltonien.

Tension sémantique

Conflit entre l'imposition de conditions aux limites strictes pour simplifier les dérivations (qui peuvent exclure des fonctions d'essai utiles) et l'adoption d'un traitement plus lâche des frontières (qui complique la dérivation variationnelle avec des termes de surface) ; aussi tension entre application analytique stricte des limites et application numérique approximative.

Synthèse

Les conditions aux limites dans les calculs variationnels sont les spécifications précises qui rendent les variations admissibles : en imposant un comportement approprié aux bords du domaine et aux singularités on assure que la stationnarité donne les équations internes correctes et que les approximations restent physiquement valides.