Der lineare Operator auf dem Quantenzustandsraum, der den linearen Impuls darstellt; in der Ortsdarstellung für ein nichtrelativistisches Teilchen ist p̂ = -iħ∇ (bzw. -iħ d/dx in einer Dimension). Er ist hermitesch (auf einem geeigneten Definitionsbereich selbstadjungiert), hat für freie Teilchen ein kontinuierliches Spektrum und ist der Erzeuger spatialer Translationen.

Prinzip

Die kanonische Konjugation zur Position und die kanonische Kommutatorrelation [x̂, p̂] = iħ definieren seine algebraische Rolle; als Erzeuger von Translationen folgt Impulserhaltung aus Translationssymmetrie (Noether-Prinzip).

Demonstration

Für ein eindimensionales freies Teilchen wirkt p̂ auf eine ebenen Welle ψ_p(x) = e^{ipx/ħ} als p̂ ψ_p = p ψ_p, sodass ebenen Wellen Impuls-Eigenzustände mit Eigenwert p sind. Die Impulsraum-Wellenfunktion ist die Fourier-Transformation der Ortsraum-Wellenfunktion.

Fehlanwendung

p̂ als überall definiter multiplikativer Operator im Ortsraum zu behandeln oder Definitionsbereich und Randbedingungen (z. B. auf einem Intervall) zu ignorieren, kann zur Nicht-Selbstadjungiertheit und falschen Spektren führen; die formale Identifikation von -iħ∇ mit einem physischen Observable ohne Spezifikation des Definitionsbereichs ist ein häufiger Fehler.

Konsequenz

Richtig definiert liefert die Messung von Impuls die Impulsverteilung |ψ̃(p)|^2; p̂ erzeugt Translationsentwicklungen von Zuständen und erscheint im kinetischen Term des Hamiltonoperators, was Dynamik und Erhaltungssätze bestimmt.

Umkehrung

In der Impulsdarstellung kehren sich die Rollen um: Impuls wirkt multiplikativ (p̂ → p), während die Position ein Differentialoperator wird (x̂ → iħ∂/∂p), was die Dualität von Ort und Impuls zeigt.

Abgrenzung

Gilt in der nichtrelativistischen Quantenmechanik auf R^n und für Impulsoperatoren des Schwerpunkts bei Mehrteilchensystemen; Schwierigkeiten treten auf bei beschränkten Gebieten, periodischen Randbedingungen, singulären Potentialen oder in der relativistischen Quantenfeldtheorie, wo der Impuls Teil eines Vierervektors mit anderen Definitions- und Spektraleigenschaften ist.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen dem formalen Differentialausdruck (-iħ∇), der in Rechnungen benutzt wird, und der strengen Sicht eines selbstadjungierten Operators mit festgelegtem Definitionsbereich; außerdem besteht eine Spannung zwischen Impuls als Translationserzeuger und dem tatsächlich gemessenen, instrumentabhängigen, geglätteten Wert.

Synthese

Der Impulsoperator ist der hermitesche Operator, der den linearen Impuls in der Quantenmechanik repräsentiert: formell -iħ∇ in der Ortsdarstellung, algebraisch durch Kommutatoren mit der Position charakterisiert, operativ durch Fourieranalyse messbar und begrenzt durch Definitionsbereich, Randbedingungen und Darstellungswahl.