L'opérateur linéaire sur l'espace d'états quantiques qui représente la quantité de mouvement linéaire ; dans la représentation en position pour une particule non relativiste il s'écrit p̂ = -iħ∇ (ou -iħ d/dx en une dimension). Il est hermitien (auto-adjoint sur un domaine approprié), possède un spectre continu pour la particule libre et est le générateur des translations spatiales.

Principe

La conjugaison canonique à la position et la relation de commutation canonique [x̂, p̂] = iħ définissent son rôle algébrique ; en tant que générateur des translations, la conservation de la quantité de mouvement découle de la symétrie par translations via le principe de Noether.

Démonstration

Pour une particule libre en une dimension, p̂ appliqué à une onde plane ψ_p(x) = e^{ipx/ħ} donne p̂ ψ_p = p ψ_p, donc les ondes planes sont des états propres de l'impulsion d'autovaleur p. La fonction d'onde en impulsion est la transformée de Fourier de la fonction d'onde en position.

Mauvaise application

Traiter p̂ comme un opérateur multiplicatif défini partout en espace de position ou ignorer le domaine et les conditions aux limites (par exemple sur un intervalle) peut conduire à une non-auto-adjonction et à des spectres incorrects ; identifier formellement -iħ∇ à un observable sans préciser les conditions aux limites est une erreur fréquente.

Conséquence

Correctement défini, mesurer l'impulsion donne la distribution de probabilité |ψ̃(p)|^2 (module carré de la transformée de Fourier) ; p̂ engendre les translations d'états et apparaît dans le terme cinétique de l'Hamiltonien, influençant la dynamique et les lois de conservation.

Inversion

Dans la représentation en impulsion, les rôles s'inversent : l'impulsion est multiplicative (p̂ → p) tandis que la position devient opérateur différentiel (x̂ → iħ∂/∂p), illustrant la dualité position-impulsion.

Limite

S'applique à la mécanique quantique non relativiste sur R^n et aux opérateurs quantité de mouvement du centre de masse pour plusieurs particules ; des complications surviennent sur des domaines bornés, avec conditions périodiques, en présence de potentiels singuliers ou en théorie quantique relativiste des champs où l'impulsion fait partie d'un opérateur quadrivecteur avec des propriétés spectrales et de domaine différentes.

Tension sémantique

La tension vient de l'expression différentielle formelle (-iħ∇) utilisée en calculs et de la notion rigoureuse d'opérateur auto-adjoint avec domaine spécifié ; une autre tension oppose l'impulsion en tant que générateur de translations et la quantité effectivement mesurée par un instrument réel, qui impose un lissage.

Synthèse

L'Opérateur de Quantité de Mouvement est l'opérateur hermitien implémentant la quantité de mouvement linéaire en théorie quantique : formellement -iħ∇ en espace de position, défini algébriquement par ses commutateurs avec la position, mesurable via des statistiques liées à la transformée de Fourier et encadré par le choix de domaine, conditions aux limites et représentation.