El operador lineal en el espacio de estados cuánticos que representa el momento lineal; en la representación de posición para una partícula no relativista se escribe p̂ = -iħ∇ (o -iħ d/dx en una dimensión). Es hermítico (auto-adjunto en un dominio apropiado), tiene espectro continuo para partículas libres y es el generador de traslaciones espaciales.

Principio

La conjugación canónica con la posición y la relación de conmutación canónica [x̂, p̂] = iħ definen su papel algebraico; como generador de traslaciones, la conservación del momento se deriva de la simetría traslacional según el teorema de Noether.

Demostración

Para una partícula libre en una dimensión, p̂ aplicado a una onda plana ψ_p(x) = e^{ipx/ħ} produce p̂ ψ_p = p ψ_p, por lo que las ondas planas son estados propios de momento con valor propio p. La función de onda en momento es la transformada de Fourier de la de posición.

Aplicación incorrecta

Tratar p̂ como un operador multiplicativo definido en todo el espacio de posición o ignorar el dominio y las condiciones de contorno (por ejemplo en un intervalo) puede dar lugar a falta de auto-adjunción y espectros incorrectos; identificar formalmente -iħ∇ con un observable sin especificar condiciones es un error común.

Consecuencia

Bien definido, medir el momento produce la distribución de probabilidad |ψ̃(p)|^2; p̂ genera traslaciones de estados y aparece en el término cinético del Hamiltoniano, influyendo en la dinámica y en las leyes de conservación.

Inversión

En la representación de momento los papeles se invierten: el momento actúa multiplicativamente (p̂ → p) mientras que la posición se convierte en operador diferencial (x̂ → iħ∂/∂p), mostrando la dualidad posición-momento.

Límite

Se aplica en la mecánica cuántica no relativista sobre R^n y a operadores de momento del centro de masa en sistemas de varias partículas; surgen complicaciones en dominios acotados, con condiciones periódicas, en presencia de potenciales singulares o en la teoría cuántica de campos relativista, donde el momento forma parte de un operador de cuatro-vectores con propiedades de dominio y espectro diferentes.

Tensión semántica

Existe tensión entre la expresión diferencial formal (-iħ∇) empleada en cálculos y la noción rigurosa de un operador auto-adjunto con dominio especificado; otra tensión contrapone al impulso como generador de traslaciones y la cantidad medida por un instrumento real que impone un suavizado.

Síntesis

El Operador de Momento es el operador hermítico que implementa el momento lineal en la teoría cuántica: formalmente -iħ∇ en espacio de posición, definido por sus conmutadores con la posición, leído por estadísticas relacionadas con la transformada de Fourier y limitado por el dominio, condiciones de contorno y la representación escogida.