Un estado gaussiano de muchos cuerpos es un estado cuántico de un sistema de bosones o fermiones cuyas propiedades estadísticas completas están determinadas por sus funciones de correlación uno- y dos-punto (primeros y segundos momentos). En lenguaje de operadores es un estado cuasi-libre cuya correlaciones de orden superior se factorizarán según el teorema de Wick en sumas de productos de correladores a dos puntos; equivalentemente su operador densidad puede escribirse como la exponencial de una forma cuadrática en operadores de creación y aniquilación.

Principio

El principio organizador es que una estructura cuadrática en el hamiltoniano o en el estado conduce al cierre de la jerarquía de momentos: conocer los momentos de primer y segundo orden fija todos los momentos superiores por factoración gaussiana.

Demostración

Ejemplo: el estado térmico de un hamiltoniano cuadrático H = Σ_{ij} a_i^† h_{ij} a_j es gaussiano con ρ ∝ exp(-βH). Sus propiedades las captura la matriz de covarianza G_{ij}=Tr(ρ a_i a_j^†) y cualquier correlador de orden n se reduce a sumas de productos de G_{ij} mediante las contracciones de Wick.

Aplicación incorrecta

Tratar un estado fundamental fuertemente correlacionado como gaussiano porque sus funciones a dos puntos se parecen a las de una teoría libre; eso ignora cumulantes conectados de orden superior no nulos que pueden cambiar cualitativamente observables (por ejemplo la escala de entrelazamiento, funciones de respuesta o tasas de decaimiento).

Consecuencia

Si es aplicable, la hipótesis gaussiana permite una parametrización compacta (matrices de covarianza, transformaciones de Bogoliubov), métodos de simulación eficientes (algoritmos gaussianos para fermiones/bosones) y la evaluación en forma cerrada de dinámica y termodinámica mediante el teorema de Wick.

Inversión

El reverso es un estado no gaussiano de muchos cuerpos, caracterizado por cumulantes superiores irreducibles: ejemplos son aislantes de Mott fuertemente correlacionados, superposiciones tipo gato de Schrödinger o estados con funciones conectadas de cuatro puntos que no se reducen a datos de dos puntos.

Límite

Se aplica a estados de hamiltonianos cuadráticos, aproximaciones de campo medio o estados estacionarios de procesos disipativos lineales. No incluye estados de equilibrio o fuera de equilibrio genéricos donde las interacciones generan correladores conectados de orden superior significativos, ni distribuciones clásicas sin coherencia cuántica.

Tensión semántica

Existe tensión entre llamar gaussiano a un estado en términos de espacio de fases (función de Wigner aproximadamente gaussiana) y considerarlo cuasi-libre en el sentido algebraico; algunos estados parecen gaussianos en cierta base pero no lo son respecto a otras observables.

Síntesis

Un estado gaussiano de muchos cuerpos es la clase de estados cuasi-libres cuyas estadísticas colectivas completas están codificadas en los primeros y segundos momentos; esa propiedad los convierte en la base resoluble de la teoría many-body y en la aproximación de orden cero frente a interacciones.