Un état gaussien multicorps est un état quantique de systèmes de bosons ou de fermions dont les propriétés statistiques complètes sont entièrement déterminées par ses fonctions de corrélation d'ordre un et deux (les premiers et seconds moments). En langage opérateur, c'est un état quasi-libre pour lequel les corrélateurs d'ordre supérieur se factorisent selon le théorème de Wick en sommes de produits de corrélateurs à deux points ; équivalemment, son opérateur densité s'écrit comme l'exponentielle d'une forme quadratique en opérateurs de création et d'annihilation.

Principe

Le principe organisateur est que la structure quadratique (Hamiltonien non interactif ou approximation champ moyen) entraîne la fermeture de la hiérarchie des moments : la connaissance des moments d'ordre un et deux fixe tous les moments supérieurs par factorisation gaussienne.

Démonstration

Exemple : l'état thermique d'un Hamiltonien quadratique H = Σ_{ij} a_i^† h_{ij} a_j est un état gaussien avec ρ ∝ exp(-βH). Ses propriétés sont décrites par la matrice de covariance G_{ij}=Tr(ρ a_i a_j^†) et tout corrélateur d'ordre n se réduit à des sommes de produits de G_{ij} via les contractions de Wick.

Mauvaise application

Prendre un état fondamental fortement corrélé pour gaussien parce que ses fonctions à deux points ressemblent à celles d'une théorie libre ; on néglige alors les cumulants connectés d'ordre supérieur non nuls qui peuvent modifier qualitativement les observables (par ex. l'échelle d'intrication, les fonctions de réponse ou les taux de décroissance).

Conséquence

Quand elle est valide, l'hypothèse gaussienne permet une paramétrisation compacte (matrices de covariance, transformations de Bogolioubov), des méthodes de simulation efficaces (algorithmes gaussiens pour fermions/bosons) et l'évaluation analytique de la dynamique et de la thermodynamique grâce au théorème de Wick.

Inversion

L'inverse est un état multicorps non-gaussien caractérisé par des cumulants d'ordre supérieur irréductibles : exemples, des isolants de Mott fortement corrélés, des superpositions type « chat » de Schrödinger, ou des états avec des fonctions à quatre points connectées non réductibles aux deux-points.

Limite

S'applique aux états de Hamiltoniens quadratiques, aux approximations champ moyen et aux états stationnaires de processus dissipatifs linéaires. N'inclut pas les états d'équilibre ou hors d'équilibre génériques où les interactions engendrent des corrélateurs connectés d'ordre supérieur significatifs, ni des distributions classiques dépourvues de cohérence quantique.

Tension sémantique

Tension entre qualifier un état de gaussien en termes d'espace des phases (fonction de Wigner approximativement gaussienne) et l'appeler quasi-libre dans le cadre algébrique ; certains états peuvent paraître gaussiens dans une base donnée mais rester non-gaussiens pour d'autres observables.

Synthèse

Un état gaussien multicorps est la classe d'états quasi-libres dont toute la statistique collective est encodée par les moments d'ordre un et deux ; cette propriété en fait la pierre angulaire résoluble de la théorie many-body et l'approximation de zéro-ordre pour les problèmes à interactions.