Une spécification du comportement admissible d'une fonction d'onde semi-classique (WKB) aux limites spatiales ou aux points de retournement, qui sélectionne les branches WKB physiques et fixe les coefficients de connexion entre régions classiquement permises et interdites.

Principe

Imposer un appariement asymptotique des développements WKB et la conservation de la probabilité/courant de sorte que les composantes exponentiellement divergentes, non normalisables, soient exclues et que les règles de connexion de phase (phénomène de Stokes) déterminent les amplitudes relatives.

Démonstration

Pour un potentiel unidimensionnel avec un seul point de retournement, exiger que la solution WKB dans la région classiquement interdite décroisse exponentiellement quand x → +∞ ; apparier cette solution décroissante au travers du point de retournement avec les solutions WKB oscillatoires du côté permis en utilisant les formules de connexion standard pour déterminer amplitude et déphasage.

Mauvaise application

Imposer une condition de bord algébrique arbitraire (par ex. annuler la fonction d'onde ou sa dérivée en un point interne sans justification physique) peut sélectionner la mauvaise branche WKB, produire une quantification artefactuelle ou violer la conservation du courant aux points de retournement.

Conséquence

Des conditions aux limites correctes assurent des fonctions propres semi-classiques normalisables, une connexion cohérente au travers des points de retournement et des règles de quantification semi-classiques fiables comme les conditions de Bohr–Sommerfeld avec les corrections de phase de Maslov appropriées.

Inversion

Si l'on permet au contraire les solutions exponentiellement croissantes et décroissantes à une frontière ouverte, l'approximation semi-classique donne des états non physiques, non normalisables et des rapports d'amplitude ambigus ; inverser le signe des multiplicateurs de Stokes modifie l'interférence et les taux de tunneling prédits.

Limite

S'applique aux approximations semi-classiques où le potentiel varie lentement par rapport à la longueur d'onde de de Broglie sauf près de points de retournement isolés ; exclut les problèmes où WKB échoue complètement (potentiels hautement singuliers, accumulation dense de points de retournement ou régions nécessitant des approximations uniformes).

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'appariement local au point de retournement (règles microlocales de connexion) et les conditions aux limites globales (quantification sur un intervalle fini) : la connexion WKB locale peut permettre plusieurs prolongements, alors que la normalisation globale impose une solution physique unique.

Synthèse

La condition aux limites de la solution WKB fixe les branches semi-classiques décroissantes ou croissantes et leurs phases et amplitudes relatives en apparariant les formules locales de connexion de Stokes avec le comportement global imposé par la normalisation ou les conditions aux frontières ouvertes, produisant ainsi des fonctions d'onde semi-classiques physiquement acceptables.